MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcn Structured version   Unicode version

Theorem dvrcn 20870
Description: The division function is continuous in a topological field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
dvrcn.d  |-  ./  =  (/r
`  R )
dvrcn.u  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
dvrcn  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ./  e.  (
( J  tX  ( Jt  U ) )  Cn  J ) )

Proof of Theorem dvrcn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
3 dvrcn.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  R )
4 eqid 2402 . . 3  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
5 dvrcn.d . . 3  |-  ./  =  (/r
`  R )
61, 2, 3, 4, 5dvrfval 17545 . 2  |-  ./  =  ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  U  |->  ( x ( .r `  R ) ( (
invr `  R ) `  y ) ) )
7 dvrcn.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
8 tdrgtrg 20859 . . 3  |-  ( R  e. TopDRing  ->  R  e.  TopRing )
9 tdrgtps 20863 . . . 4  |-  ( R  e. TopDRing  ->  R  e.  TopSp )
101, 7istps 19621 . . . 4  |-  ( R  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  R )
) )
119, 10sylib 196 . . 3  |-  ( R  e. TopDRing  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  R
) ) )
121, 3unitss 17521 . . . 4  |-  U  C_  ( Base `  R )
13 resttopon 19847 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  R )
)  /\  U  C_  ( Base `  R ) )  ->  ( Jt  U )  e.  (TopOn `  U
) )
1411, 12, 13sylancl 660 . . 3  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( Jt  U )  e.  (TopOn `  U
) )
1511, 14cnmpt1st 20353 . . 3  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  U  |->  x )  e.  ( ( J  tX  ( Jt  U ) )  Cn  J ) )
1611, 14cnmpt2nd 20354 . . . 4  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  U  |->  y )  e.  ( ( J  tX  ( Jt  U ) )  Cn  ( Jt  U ) ) )
177, 4, 3invrcn 20867 . . . 4  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( invr `  R
)  e.  ( ( Jt  U )  Cn  J
) )
1811, 14, 16, 17cnmpt21f 20357 . . 3  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  U  |->  ( ( invr `  R ) `  y
) )  e.  ( ( J  tX  ( Jt  U ) )  Cn  J ) )
197, 2, 8, 11, 14, 15, 18cnmpt2mulr 20869 . 2  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  U  |->  ( x ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  y )
) )  e.  ( ( J  tX  ( Jt  U ) )  Cn  J ) )
206, 19syl5eqel 2494 1  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ./  e.  (
( J  tX  ( Jt  U ) )  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    |-> cmpt2 6236   Basecbs 14733   .rcmulr 14802   ↾t crest 14927   TopOpenctopn 14928  Unitcui 17500   invrcinvr 17532  /rcdvr 17543  TopOnctopon 19579   TopSpctps 19581    Cn ccn 19910    tX ctx 20245  TopDRingctdrg 20843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fi 7825  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-tset 14820  df-rest 14929  df-topn 14930  df-topgen 14950  df-plusf 16087  df-minusg 16274  df-mgp 17354  df-dvdsr 17502  df-unit 17503  df-invr 17533  df-dvr 17544  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cn 19913  df-tx 20247  df-tmd 20755  df-tgp 20756  df-trg 20846  df-tdrg 20847
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator