MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcn Structured version   Unicode version

Theorem dvrcn 19900
Description: The division function is continuous in a topological field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
dvrcn.d  |-  ./  =  (/r
`  R )
dvrcn.u  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
dvrcn  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ./  e.  (
( J  tX  ( Jt  U ) )  Cn  J ) )

Proof of Theorem dvrcn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
3 dvrcn.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  R )
4 eqid 2454 . . 3  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
5 dvrcn.d . . 3  |-  ./  =  (/r
`  R )
61, 2, 3, 4, 5dvrfval 16909 . 2  |-  ./  =  ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  U  |->  ( x ( .r `  R ) ( (
invr `  R ) `  y ) ) )
7 dvrcn.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
8 tdrgtrg 19889 . . 3  |-  ( R  e. TopDRing  ->  R  e.  TopRing )
9 tdrgtps 19893 . . . 4  |-  ( R  e. TopDRing  ->  R  e.  TopSp )
101, 7istps 18683 . . . 4  |-  ( R  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  R )
) )
119, 10sylib 196 . . 3  |-  ( R  e. TopDRing  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  R
) ) )
121, 3unitss 16885 . . . 4  |-  U  C_  ( Base `  R )
13 resttopon 18907 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  R )
)  /\  U  C_  ( Base `  R ) )  ->  ( Jt  U )  e.  (TopOn `  U
) )
1411, 12, 13sylancl 662 . . 3  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( Jt  U )  e.  (TopOn `  U
) )
1511, 14cnmpt1st 19383 . . 3  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  U  |->  x )  e.  ( ( J  tX  ( Jt  U ) )  Cn  J ) )
1611, 14cnmpt2nd 19384 . . . 4  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  U  |->  y )  e.  ( ( J  tX  ( Jt  U ) )  Cn  ( Jt  U ) ) )
177, 4, 3invrcn 19897 . . . 4  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( invr `  R
)  e.  ( ( Jt  U )  Cn  J
) )
1811, 14, 16, 17cnmpt21f 19387 . . 3  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  U  |->  ( ( invr `  R ) `  y
) )  e.  ( ( J  tX  ( Jt  U ) )  Cn  J ) )
197, 2, 8, 11, 14, 15, 18cnmpt2mulr 19899 . 2  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  U  |->  ( x ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  y )
) )  e.  ( ( J  tX  ( Jt  U ) )  Cn  J ) )
206, 19syl5eqel 2546 1  |-  ( R  e. TopDRing  ->  ./  e.  (
( J  tX  ( Jt  U ) )  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3439   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   Basecbs 14296   .rcmulr 14362   ↾t crest 14482   TopOpenctopn 14483  Unitcui 16864   invrcinvr 16896  /rcdvr 16907  TopOnctopon 18641   TopSpctps 18643    Cn ccn 18970    tX ctx 19275  TopDRingctdrg 19873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7776  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-tset 14380  df-rest 14484  df-topn 14485  df-topgen 14505  df-plusf 15539  df-minusg 15669  df-mgp 16724  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-dvr 16908  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-cn 18973  df-tx 19277  df-tmd 19785  df-tgp 19786  df-trg 19876  df-tdrg 19877
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator