Theorem invrcn 21794

Description: The multiplicative inverse function is a continuous function from the unit group (that is, the nonzero numbers) to the field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
invrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invrcn	⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))

Proof of Theorem invrcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tdrgtps 21790	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopSp)
2		mulrcn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
3	2	tpstop 20554	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)
4		cnrest2r 20901	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) ⊆ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) ⊆ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
6		invrcn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7		invrcn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8	2, 6, 7	invrcn2 21793	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))
9	5, 8	sseldd 3569	1 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↾_t crest 15904  TopOpenctopn 15905  Unitcui 18462  inv_rcinvr 18494  Topctop 20517  TopSpctps 20519   Cn ccn 20838  TopDRingctdrg 21770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-invr 18495  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-tmd 21686  df-tgp 21687  df-trg 21773  df-tdrg 21774

This theorem is referenced by:  dvrcn  21797