Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopellsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhopellsm 35424
Description: Ordered pair membership in a subspace sum. (Contributed by NM, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhopellsm.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhopellsm.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhopellsm.a + = (+g𝑈)
dvhopellsm.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dvhopellsm.p = (LSSum‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvhopellsm (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 𝑌) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧, +   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑊,𝑦   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐻(𝑧,𝑤)   𝐾(𝑧,𝑤)   𝑊(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem dvhopellsm
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvhopellsm.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvhopellsm.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 id 22 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 35417 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
543ad2ant1 1075 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑈 ∈ LMod)
6 dvhopellsm.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
76lsssssubg 18779 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
85, 7syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
9 simp2 1055 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋𝑆)
108, 9sseldd 3569 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
11 simp3 1056 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌𝑆)
128, 11sseldd 3569 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈))
13 dvhopellsm.a . . . 4 + = (+g𝑈)
14 dvhopellsm.p . . . 4 = (LSSum‘𝑈)
1513, 14lsmelval 17887 . . 3 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 𝑌) ↔ ∃𝑢𝑋𝑣𝑌𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣)))
1610, 12, 15syl2anc 691 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 𝑌) ↔ ∃𝑢𝑋𝑣𝑌𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣)))
17 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
1817, 6lssss 18758 . . . . . . 7 (𝑌𝑆𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
19183ad2ant3 1077 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
20 eqid 2610 . . . . . . . 8 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
21 eqid 2610 . . . . . . . 8 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
221, 20, 21, 2, 17dvhvbase 35394 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
23223ad2ant1 1075 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
2419, 23sseqtrd 3604 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
25 relxp 5150 . . . . 5 Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
26 relss 5129 . . . . 5 (𝑌 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → Rel 𝑌))
2724, 25, 26mpisyl 21 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → Rel 𝑌)
28 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑣 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑢 + 𝑣) = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩))
2928eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝑣 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩)))
3029exopxfr2 5188 . . . 4 (Rel 𝑌 → (∃𝑣𝑌𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩))))
3127, 30syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (∃𝑣𝑌𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩))))
3231rexbidv 3034 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (∃𝑢𝑋𝑣𝑌𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 + 𝑣) ↔ ∃𝑢𝑋𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩))))
3317, 6lssss 18758 . . . . . . 7 (𝑋𝑆𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
34333ad2ant2 1076 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
3534, 23sseqtrd 3604 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
36 relss 5129 . . . . 5 (𝑋 ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → Rel 𝑋))
3735, 25, 36mpisyl 21 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → Rel 𝑋)
38 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩) = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))
3938eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩) ↔ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩)))
4039anbi2d 736 . . . . . 6 (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩)) ↔ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
41402exbidv 1839 . . . . 5 (𝑢 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
4241exopxfr2 5188 . . . 4 (Rel 𝑋 → (∃𝑢𝑋𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩)))))
4337, 42syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (∃𝑢𝑋𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩)))))
44 19.42vv 1907 . . . . 5 (∃𝑧𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
45 anass 679 . . . . . . . 8 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩)) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
46452exbii 1765 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑧𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
4746bicomi 213 . . . . . 6 (∃𝑧𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩)))
4847a1i 11 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (∃𝑧𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
4944, 48syl5bbr 273 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
50492exbidv 1839 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (∃𝑥𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
5143, 50bitrd 267 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (∃𝑢𝑋𝑧𝑤(⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌 ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (𝑢 +𝑧, 𝑤⟩)) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
5216, 32, 513bitrd 293 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (⟨𝐹, 𝑇⟩ ∈ (𝑋 𝑌) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧𝑤((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑋 ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝐹, 𝑇⟩ = (⟨𝑥, 𝑦+𝑧, 𝑤⟩))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wrex 2897  wss 3540  cop 4131   × cxp 5036  Rel wrel 5043  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  SubGrpcsubg 17411  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  TEndoctendo 35058  DVecHcdvh 35385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-lsm 17874  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lvec 18924  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dvech 35386
This theorem is referenced by:  diblsmopel  35478  dihopelvalcpre  35555  xihopellsmN  35561  dihopellsm  35562
  Copyright terms: Public domain W3C validator