Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopellsm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvhopellsm 34730
Description: Ordered pair membership in a subspace sum. (Contributed by NM, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhopellsm.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhopellsm.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhopellsm.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
dvhopellsm.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dvhopellsm.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
Assertion
Ref Expression
dvhopellsm  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( <. F ,  T >.  e.  ( X  .(+)  Y )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z,  .+    w, F, x, y, z    x, H, y    x, K, y   
x, S, y    w, T, x, y, z    x, W, y    w, X, x, y, z    w, Y, x, y, z
Allowed substitution hints:    .(+) ( x, y,
z, w)    S( z, w)    U( x, y, z, w)    H( z, w)    K( z, w)    W( z, w)

Proof of Theorem dvhopellsm
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvhopellsm.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhopellsm.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlmod 34723 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LMod )
543ad2ant1 1035 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  U  e.  LMod )
6 dvhopellsm.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
76lsssssubg 18230 . . . . 5  |-  ( U  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  U ) )
85, 7syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  S  C_  (SubGrp `  U ) )
9 simp2 1015 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  X  e.  S )
108, 9sseldd 3445 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  X  e.  (SubGrp `  U ) )
11 simp3 1016 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Y  e.  S )
128, 11sseldd 3445 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  U ) )
13 dvhopellsm.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
14 dvhopellsm.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
1513, 14lsmelval 17350 . . 3  |-  ( ( X  e.  (SubGrp `  U )  /\  Y  e.  (SubGrp `  U )
)  ->  ( <. F ,  T >.  e.  ( X  .(+)  Y )  <->  E. u  e.  X  E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v ) ) )
1610, 12, 15syl2anc 671 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( <. F ,  T >.  e.  ( X  .(+)  Y )  <->  E. u  e.  X  E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v ) ) )
17 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
1817, 6lssss 18209 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  S  ->  Y  C_  ( Base `  U
) )
19183ad2ant3 1037 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Y  C_  ( Base `  U ) )
20 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
21 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
221, 20, 21, 2, 17dvhvbase 34700 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  U
)  =  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
23223ad2ant1 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( Base `  U )  =  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
2419, 23sseqtrd 3480 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Y  C_  (
( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
25 relxp 4961 . . . . 5  |-  Rel  (
( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
26 relss 4941 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  ( ( (
LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  -> 
( Rel  ( (
( LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  ->  Rel  Y ) )
2724, 25, 26mpisyl 21 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Rel  Y )
28 oveq2 6323 . . . . . 6  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( u  .+  v )  =  ( u  .+  <. z ,  w >. ) )
2928eqeq2d 2472 . . . . 5  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  v )  <->  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) ) )
3029exopxfr2 4998 . . . 4  |-  ( Rel 
Y  ->  ( E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v )  <->  E. z E. w (
<. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) ) ) )
3127, 30syl 17 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v )  <->  E. z E. w (
<. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) ) ) )
3231rexbidv 2913 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. u  e.  X  E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v )  <->  E. u  e.  X  E. z E. w (
<. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) ) ) )
3317, 6lssss 18209 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  X  C_  ( Base `  U
) )
34333ad2ant2 1036 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  X  C_  ( Base `  U ) )
3534, 23sseqtrd 3480 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  X  C_  (
( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
36 relss 4941 . . . . 5  |-  ( X 
C_  ( ( (
LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  -> 
( Rel  ( (
( LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  ->  Rel  X ) )
3735, 25, 36mpisyl 21 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Rel  X )
38 oveq1 6322 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( u  .+  <.
z ,  w >. )  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
)
3938eqeq2d 2472 . . . . . . 7  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. )  <->  <. F ,  T >.  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
) )
4039anbi2d 715 . . . . . 6  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( <.
z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) )  <->  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
) ) )
41402exbidv 1781 . . . . 5  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( E. z E. w ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  <.
z ,  w >. ) )  <->  E. z E. w
( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
4241exopxfr2 4998 . . . 4  |-  ( Rel 
X  ->  ( E. u  e.  X  E. z E. w ( <.
z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) )  <->  E. x E. y ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w
( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) ) )
4337, 42syl 17 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. u  e.  X  E. z E. w ( <.
z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) )  <->  E. x E. y ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w
( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) ) )
44 19.42vv 1847 . . . . 5  |-  ( E. z E. w (
<. x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w
( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
45 anass 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
46452exbii 1730 . . . . . . 7  |-  ( E. z E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) )  <->  E. z E. w ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
4746bicomi 207 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w (
<. x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) )  <->  E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) )
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. z E. w ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) )  <->  E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
4944, 48syl5bbr 267 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
) )  <->  E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
50492exbidv 1781 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. x E. y ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
) )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
5143, 50bitrd 261 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. u  e.  X  E. z E. w ( <.
z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
5216, 32, 513bitrd 287 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( <. F ,  T >.  e.  ( X  .(+)  Y )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   E.wrex 2750    C_ wss 3416   <.cop 3986    X. cxp 4851   Rel wrel 4858   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   +g cplusg 15239  SubGrpcsubg 16860   LSSumclsm 17335   LModclmod 18140   LSubSpclss 18204   HLchlt 32961   LHypclh 33594   LTrncltrn 33711   TEndoctendo 34364   DVecHcdvh 34691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-riotaBAD 32570
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-tpos 6999  df-undef 7046  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-0g 15389  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-p1 16335  df-lat 16341  df-clat 16403  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-subg 16863  df-lsm 17337  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-oppr 17900  df-dvdsr 17918  df-unit 17919  df-invr 17949  df-dvr 17960  df-drng 18026  df-lmod 18142  df-lss 18205  df-lvec 18375  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-llines 33108  df-lplanes 33109  df-lvols 33110  df-lines 33111  df-psubsp 33113  df-pmap 33114  df-padd 33406  df-lhyp 33598  df-laut 33599  df-ldil 33714  df-ltrn 33715  df-trl 33770  df-tendo 34367  df-edring 34369  df-dvech 34692
This theorem is referenced by:  diblsmopel  34784  dihopelvalcpre  34861  xihopellsmN  34867  dihopellsm  34868
  Copyright terms: Public domain W3C validator