Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopellsm Structured version   Unicode version

Theorem dvhopellsm 36945
Description: Ordered pair membership in a subspace sum. (Contributed by NM, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhopellsm.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhopellsm.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhopellsm.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
dvhopellsm.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dvhopellsm.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
Assertion
Ref Expression
dvhopellsm  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( <. F ,  T >.  e.  ( X  .(+)  Y )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z,  .+    w, F, x, y, z    x, H, y    x, K, y   
x, S, y    w, T, x, y, z    x, W, y    w, X, x, y, z    w, Y, x, y, z
Allowed substitution hints:    .(+) ( x, y,
z, w)    S( z, w)    U( x, y, z, w)    H( z, w)    K( z, w)    W( z, w)

Proof of Theorem dvhopellsm
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvhopellsm.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhopellsm.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlmod 36938 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LMod )
543ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  U  e.  LMod )
6 dvhopellsm.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
76lsssssubg 17730 . . . . 5  |-  ( U  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  U ) )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  S  C_  (SubGrp `  U ) )
9 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  X  e.  S )
108, 9sseldd 3500 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  X  e.  (SubGrp `  U ) )
11 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Y  e.  S )
128, 11sseldd 3500 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  U ) )
13 dvhopellsm.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
14 dvhopellsm.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
1513, 14lsmelval 16795 . . 3  |-  ( ( X  e.  (SubGrp `  U )  /\  Y  e.  (SubGrp `  U )
)  ->  ( <. F ,  T >.  e.  ( X  .(+)  Y )  <->  E. u  e.  X  E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v ) ) )
1610, 12, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( <. F ,  T >.  e.  ( X  .(+)  Y )  <->  E. u  e.  X  E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v ) ) )
17 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
1817, 6lssss 17709 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  S  ->  Y  C_  ( Base `  U
) )
19183ad2ant3 1019 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Y  C_  ( Base `  U ) )
20 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
21 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
221, 20, 21, 2, 17dvhvbase 36915 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  U
)  =  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
23223ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( Base `  U )  =  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
2419, 23sseqtrd 3535 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Y  C_  (
( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
25 relxp 5119 . . . . 5  |-  Rel  (
( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
26 relss 5099 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  ( ( (
LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  -> 
( Rel  ( (
( LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  ->  Rel  Y ) )
2724, 25, 26mpisyl 18 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Rel  Y )
28 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( u  .+  v )  =  ( u  .+  <. z ,  w >. ) )
2928eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  v )  <->  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) ) )
3029exopxfr2 5157 . . . 4  |-  ( Rel 
Y  ->  ( E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v )  <->  E. z E. w (
<. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) ) ) )
3127, 30syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v )  <->  E. z E. w (
<. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) ) ) )
3231rexbidv 2968 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. u  e.  X  E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v )  <->  E. u  e.  X  E. z E. w (
<. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) ) ) )
3317, 6lssss 17709 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  X  C_  ( Base `  U
) )
34333ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  X  C_  ( Base `  U ) )
3534, 23sseqtrd 3535 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  X  C_  (
( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
36 relss 5099 . . . . 5  |-  ( X 
C_  ( ( (
LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  -> 
( Rel  ( (
( LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  ->  Rel  X ) )
3735, 25, 36mpisyl 18 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Rel  X )
38 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( u  .+  <.
z ,  w >. )  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
)
3938eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. )  <->  <. F ,  T >.  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
) )
4039anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( <.
z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) )  <->  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
) ) )
41402exbidv 1717 . . . . 5  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( E. z E. w ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  <.
z ,  w >. ) )  <->  E. z E. w
( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
4241exopxfr2 5157 . . . 4  |-  ( Rel 
X  ->  ( E. u  e.  X  E. z E. w ( <.
z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) )  <->  E. x E. y ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w
( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) ) )
4337, 42syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. u  e.  X  E. z E. w ( <.
z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) )  <->  E. x E. y ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w
( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) ) )
44 19.42vv 1778 . . . . 5  |-  ( E. z E. w (
<. x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w
( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
45 anass 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
46452exbii 1669 . . . . . . 7  |-  ( E. z E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) )  <->  E. z E. w ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
4746bicomi 202 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w (
<. x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) )  <->  E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) )
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. z E. w ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) )  <->  E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
4944, 48syl5bbr 259 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
) )  <->  E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
50492exbidv 1717 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. x E. y ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
) )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
5143, 50bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. u  e.  X  E. z E. w ( <.
z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
5216, 32, 513bitrd 279 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( <. F ,  T >.  e.  ( X  .(+)  Y )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   E.wrex 2808    C_ wss 3471   <.cop 4038    X. cxp 5006   Rel wrel 5013   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   +g cplusg 14711  SubGrpcsubg 16321   LSSumclsm 16780   LModclmod 17638   LSubSpclss 17704   HLchlt 35176   LHypclh 35809   LTrncltrn 35926   TEndoctendo 36579   DVecHcdvh 36906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34785
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-0g 14858  df-preset 15683  df-poset 15701  df-plt 15714  df-lub 15730  df-glb 15731  df-join 15732  df-meet 15733  df-p0 15795  df-p1 15796  df-lat 15802  df-clat 15864  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-lsm 16782  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-dvr 17458  df-drng 17524  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lvec 17875  df-oposet 35002  df-ol 35004  df-oml 35005  df-covers 35092  df-ats 35093  df-atl 35124  df-cvlat 35148  df-hlat 35177  df-llines 35323  df-lplanes 35324  df-lvols 35325  df-lines 35326  df-psubsp 35328  df-pmap 35329  df-padd 35621  df-lhyp 35813  df-laut 35814  df-ldil 35929  df-ltrn 35930  df-trl 35985  df-tendo 36582  df-edring 36584  df-dvech 36907
This theorem is referenced by:  diblsmopel  36999  dihopelvalcpre  37076  xihopellsmN  37082  dihopellsm  37083
  Copyright terms: Public domain W3C validator