Theorem dmdprdd 18221

Description: Show that a given family is a direct product decomposition. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprd.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dmdprd.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
dmdprdd.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
dmdprdd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
dmdprdd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })

Assertion

Ref	Expression
dmdprdd	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmdprdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		dmdprdd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3		eldifsn 4260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
4		necom 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
5	4	anbi2i 726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
6	3, 5	bitri 263	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
7		dmdprdd.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
8	7	3exp2 1277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 → (𝑦 ∈ 𝐼 → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))))
9	8	imp4b 611	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))
10	6, 9	syl5bi 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦))))
11	10	ralrimiv 2948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)))
12		dmdprdd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
13	2	ffvelrnda 6267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		dmdprd.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
15	14	subg0cl 17425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆‘𝑥))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝑆‘𝑥))
17	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
18		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	18	subgacs 17452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
20		acsmre 16136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
21	17, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
22		imassrn 5396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝑆
23		frn 5966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
24	2, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
26	22, 25	syl5ss 3579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
27		mresspw 16075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
28	21, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
29	26, 28	sstrd 3578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
30		sspwuni 4547	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
31	29, 30	sylib 207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
32		dmdprd.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
33	32	mrccl 16094	. . . . . . . . 9 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
34	21, 31, 33	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
35	14	subg0cl 17425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
37	16, 36	elind 3760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
38	37	snssd 4281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → { 0 } ⊆ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
39	12, 38	eqssd 3585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
40	11, 39	jca 553	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
41	40	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
42		dmdprdd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
43		fdm 5964	. . . 4 ⊢ (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → dom 𝑆 = 𝐼)
44	2, 43	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
45		dmdprd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
46	45, 14, 32	dmdprd 18220	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
47	42, 44, 46	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
48	1, 2, 41, 47	mpbir3and 1238	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  Moorecmre 16065  mrClscmrc 16066  ACScacs 16068  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571   DProd cdprd 18215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-dprd 18217

This theorem is referenced by:  dprdss  18251  dprdz  18252  dprdf1o  18254  dprdsn  18258  dprd2da  18264  dmdprdsplit2  18268  ablfac1b  18292