Theorem acsmre 16136

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 16135	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 475	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  Moorecmre 16065  ACScacs 16068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-acs 16072

This theorem is referenced by:  acsfiel  16138  acsmred  16140  mreacs  16142  isacs3lem  16989  symggen  17713  odf1o1  17810  lsmmod  17911  gsumzsplit  18150  gsumzoppg  18167  gsumpt  18184  dmdprdd  18221  dprdfeq0  18244  dprdspan  18249  dprdres  18250  dprdss  18251  subgdmdprd  18256  subgdprd  18257  dprdsn  18258  dprd2dlem1  18263  dprd2da  18264  dmdprdsplit2lem  18267  ablfac1b  18292  pgpfac1lem1  18296  pgpfac1lem3  18299  pgpfac1lem4  18300  pgpfac1lem5  18301  pgpfaclem1  18303  pgpfaclem2  18304  isnacs2  36287  proot1mul  36796  proot1hash  36797