MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmre Structured version   Unicode version

Theorem acsmre 14923
Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsmre  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )

Proof of Theorem acsmre
Dummy variables  f 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs 14922 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P s  i^i 
Fin ) )  C_  s ) ) ) )
21simplbi 460 1  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2817    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   "cima 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594   Fincfn 7528  Moorecmre 14853  ACScacs 14856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-acs 14860
This theorem is referenced by:  acsfiel  14925  acsmred  14927  mreacs  14929  isacs3lem  15669  symggen  16366  odf1o1  16463  lsmmod  16564  gsumzsplit  16815  gsumzsplitOLD  16816  gsumzoppg  16838  gsumzoppgOLD  16839  gsumpt  16859  gsumptOLD  16860  dmdprdd  16901  dprdfeq0  16932  dprdfeq0OLD  16939  dprdspan  16944  dprdres  16945  dprdss  16946  subgdmdprd  16951  subgdprd  16952  dprdsn  16953  dprd2dlem1  16960  dprd2da  16961  dmdprdsplit2lem  16964  ablfac1b  16991  pgpfac1lem1  16995  pgpfac1lem3  16998  pgpfac1lem4  16999  pgpfac1lem5  17000  pgpfaclem1  17002  pgpfaclem2  17003  isnacs2  30572  proot1mul  31091  proot1hash  31095
  Copyright terms: Public domain W3C validator