MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmre Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem acsmre 15613
Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsmre  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )

Proof of Theorem acsmre
Dummy variables  f 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs 15612 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P s  i^i 
Fin ) )  C_  s ) ) ) )
21simplbi 466 1  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   E.wex 1674    e. wcel 1898   A.wral 2749    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   U.cuni 4212   "cima 4859   -->wf 5601   ` cfv 5605   Fincfn 7600  Moorecmre 15543  ACScacs 15546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-fv 5613  df-acs 15550
This theorem is referenced by:  acsfiel  15615  acsmred  15617  mreacs  15619  isacs3lem  16467  symggen  17166  odf1o1  17276  lsmmod  17380  gsumzsplit  17615  gsumzoppg  17632  gsumpt  17649  dmdprdd  17686  dprdfeq0  17710  dprdspan  17715  dprdres  17716  dprdss  17717  subgdmdprd  17722  subgdprd  17723  dprdsn  17724  dprd2dlem1  17729  dprd2da  17730  dmdprdsplit2lem  17733  ablfac1b  17758  pgpfac1lem1  17762  pgpfac1lem3  17765  pgpfac1lem4  17766  pgpfac1lem5  17767  pgpfaclem1  17769  pgpfaclem2  17770  isnacs2  35594  proot1mul  36119  proot1hash  36123
  Copyright terms: Public domain W3C validator