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Theorem isacs3lem 16989
Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 16997. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacs3lem (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs3lem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmre 16136 . 2 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mresspw 16075 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
4 sspwb 4844 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ 𝒫 𝐶 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋)
53, 4sylib 207 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝒫 𝐶 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋)
65sselda 3568 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
76elpwid 4118 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
8 sspwuni 4547 . . . . . . 7 (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 𝑠𝑋)
97, 8sylib 207 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠𝑋)
109adantr 480 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → 𝑠𝑋)
11 inss1 3795 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑠
1211sseli 3564 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
1312elpwid 4118 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 𝑠)
14 inss2 3796 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ Fin
1514sseli 3564 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
16 fissuni 8154 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑠𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 𝑦)
1713, 15, 16syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 𝑦)
1817ad2antll 761 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 𝑦)
191ad3antrrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
20 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
21 simprr 792 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑥 𝑦)
22 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑠
2322sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
2423elpwid 4118 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦𝑠)
2524unissd 4398 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 𝑠)
2625ad2antrl 760 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 𝑠)
279ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑠𝑋)
2826, 27sstrd 3578 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝑋)
2919, 20, 21, 28mrcssd 16107 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦))
30 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (toInc‘𝑠) ∈ Dirset)
3124adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦𝑠)
32 inss2 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ Fin
3332sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
35 ipodrsfi 16986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦𝑠𝑦 ∈ Fin) → ∃𝑥𝑠 𝑦𝑥)
3630, 31, 34, 35syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∃𝑥𝑠 𝑦𝑥)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑥𝑠 𝑦𝑥)
381ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
39 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑦𝑥)
40 elpwi 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶𝑠𝐶)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠𝐶)
4241ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑠𝐶)
43 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑥𝑠)
4442, 43sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑥𝐶)
4520mrcsscl 16103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦𝑥𝑥𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑥)
4638, 39, 44, 45syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑥)
47 elssuni 4403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑠𝑥 𝑠)
4847ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑥 𝑠)
4946, 48sstrd 3578 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
5037, 49rexlimddv 3017 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
5150anassrs 678 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
5251adantrr 749 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
5352adantlrr 753 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
5429, 53sstrd 3578 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5518, 54rexlimddv 3017 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5655anassrs 678 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5756ralrimiva 2949 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5820acsfiel 16138 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ( 𝑠𝐶 ↔ ( 𝑠𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)))
5958ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ( 𝑠𝐶 ↔ ( 𝑠𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)))
6010, 57, 59mpbir2and 959 . . . 4 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → 𝑠𝐶)
6160ex 449 . . 3 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶))
6261ralrimiva 2949 . 2 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶))
631, 62jca 553 1 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  cin 3539  wss 3540  𝒫 cpw 4108   cuni 4372  cfv 5804  Fincfn 7841  Moorecmre 16065  mrClscmrc 16066  ACScacs 16068  Dirsetcdrs 16750  toInccipo 16974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ocomp 15790  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-preset 16751  df-drs 16752  df-poset 16769  df-ipo 16975
This theorem is referenced by:  acsdrsel  16990  acsdrscl  16993  acsficl  16994  isacs5  16995  isacs4  16996  isacs3  16997
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