Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dip0r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dip0r 26956
 Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dip0r.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dip0r.5 𝑍 = (0vec𝑈)
dip0r.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dip0r ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)

Proof of Theorem dip0r
StepHypRef Expression
1 dip0r.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 dip0r.5 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑈)
31, 2nvzcl 26873 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
43adantr 480 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍𝑋)
5 eqid 2610 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
6 eqid 2610 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
7 eqid 2610 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
8 dip0r.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
91, 5, 6, 7, 8ipval2 26946 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
104, 9mpd3an3 1417 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
11 neg1cn 11001 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
126, 2nvsz 26877 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1311, 12mpan2 703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ NrmCVec → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1514oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))
1615fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍)))
1716oveq1d 6564 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2))
1817oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2)))
191, 5, 6, 7, 8ipval2lem3 26944 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
204, 19mpd3an3 1417 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
2120recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℂ)
2221subidd 10259 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2)) = 0)
2318, 22eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
24 negicn 10161 . . . . . . . . . . . . . . 15 -i ∈ ℂ
256, 2nvsz 26877 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ) → (-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
2624, 25mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ NrmCVec → (-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
27 ax-icn 9874 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
286, 2nvsz 26877 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ) → (i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
2927, 28mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ NrmCVec → (i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
3026, 29eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))
3231oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))
3332fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))))
3433oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2))
3534oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))
361, 5, 6, 7, 8ipval2lem4 26945 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
3727, 36mpan2 703 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
384, 37mpd3an3 1417 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
3938subidd 10259 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
4035, 39eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
4140oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2))) = (i · 0))
4223, 41oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) = (0 + (i · 0)))
43 it0e0 11131 . . . . . . 7 (i · 0) = 0
4443oveq2i 6560 . . . . . 6 (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
45 00id 10090 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4644, 45eqtri 2632 . . . . 5 (0 + (i · 0)) = 0
4742, 46syl6eq 2660 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) = 0)
4847oveq1d 6564 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = (0 / 4))
49 4cn 10975 . . . 4 4 ∈ ℂ
50 4ne0 10994 . . . 4 4 ≠ 0
5149, 50div0i 10638 . . 3 (0 / 4) = 0
5248, 51syl6eq 2660 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = 0)
5310, 52eqtrd 2644 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  4c4 10949  ↑cexp 12722  NrmCVeccnv 26823   +𝑣 cpv 26824  BaseSetcba 26825   ·𝑠OLD cns 26826  0veccn0v 26827  normCVcnmcv 26829  ·𝑖OLDcdip 26939 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839  df-dip 26940 This theorem is referenced by:  dip0l  26957  siii  27092
 Copyright terms: Public domain W3C validator