Theorem decmul1OLD 11462

Description: Obsolete proof of decmul1 11461 as of 6-Sep-2021. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
decmul1.0	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1.c	⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d	⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
decmul1OLD	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0OLD 11194	. . 3 ⊢ 10 ∈ ℕ0
2		decmul1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
3		decmul1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decmul1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		decmul1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdecOLD 11371	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2632	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
8		decmul1.0	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
9		0nn0 11184	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	3, 2	nn0mulcli 11208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 11181	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12	11	addid1i 10102	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
13		decmul1.c	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
14	12, 13	eqtri 2632	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐶
15		decmul1.d	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
16	8	nn0cni 11181	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
17	16	addid2i 10103	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝐷) = 𝐷
18	15, 17	eqtr4i 2635	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = (0 + 𝐷)
19	1	nn0cni 11181	. . . . . . 7 ⊢ 10 ∈ ℂ
20	19	mul01i 10105	. . . . . 6 ⊢ (10 · 0) = 0
21	20	eqcomi 2619	. . . . 5 ⊢ 0 = (10 · 0)
22	21	oveq1i 6559	. . . 4 ⊢ (0 + 𝐷) = ((10 · 0) + 𝐷)
23	18, 22	eqtri 2632	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((10 · 0) + 𝐷)
24	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 23	nummul1c 11438	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
25		dfdecOLD 11371	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
26	24, 25	eqtr4i 2635	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820  10c10 10955  ℕ₀cn0 11169  ;cdc 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-10OLD 10964  df-n0 11170  df-dec 11370

This theorem is referenced by: (None)