Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummul1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nummul1c 11438
 Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7 𝐸 ∈ ℕ0
nummul1c.8 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
nummul1c.9 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
Assertion
Ref Expression
nummul1c (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul1c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 nummul1c.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
3 nummul1c.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
4 nummul1c.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 11386 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2684 . . 3 𝑁 ∈ ℕ0
7 nummul1c.2 . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
86, 7num0u 11384 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
9 0nn0 11184 . . 3 0 ∈ ℕ0
102, 9num0h 11385 . . 3 0 = ((𝑇 · 0) + 0)
11 nummul1c.6 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
12 nummul1c.7 . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
1312nn0cni 11181 . . . . . 6 𝐸 ∈ ℂ
1413addid2i 10103 . . . . 5 (0 + 𝐸) = 𝐸
1514oveq2i 6560 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸)
16 nummul1c.8 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
1715, 16eqtri 2632 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = 𝐶
184, 7num0u 11384 . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = ((𝐵 · 𝑃) + 0)
19 nummul1c.9 . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
2018, 19eqtr3i 2634 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
212, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20nummac 11434 . 2 ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
228, 21eqtri 2632 1 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820  ℕ0cn0 11169 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-nn 10898  df-n0 11170 This theorem is referenced by:  nummul2c  11439  decmul1  11461  decmul1OLD  11462  decmul1c  11463  decmul1cOLD  11464
 Copyright terms: Public domain W3C validator