Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2 30552
 Description: A two-dimensional version of cvmlift 30535. There is a unique lift of functions on the unit square II ×t II which commutes with the covering map. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2 (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (0𝑓0) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝜑,𝑓   𝑓,𝐽   𝑓,𝐺   𝐶,𝑓   𝑃,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift2.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3 cvmlift2.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4 cvmlift2.p . 2 (𝜑𝑃𝐵)
5 cvmlift2.i . 2 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
6 coeq2 5202 . . . . 5 ( = 𝑔 → (𝐹) = (𝐹𝑔))
7 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝐺0) = (𝑧𝐺0))
87cbvmptv 4678 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))
98a1i 11 . . . . 5 ( = 𝑔 → (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)))
106, 9eqeq12d 2625 . . . 4 ( = 𝑔 → ((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ↔ (𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))))
11 fveq1 6102 . . . . 5 ( = 𝑔 → (‘0) = (𝑔‘0))
1211eqeq1d 2612 . . . 4 ( = 𝑔 → ((‘0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘0) = 𝑃))
1310, 12anbi12d 743 . . 3 ( = 𝑔 → (((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
1413cbvriotav 6522 . 2 ( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃)) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
15 coeq2 5202 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑔 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑔))
16 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑢𝐺𝑤) = (𝑢𝐺𝑧))
1716cbvmptv 4678 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧))
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑔 → (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)))
1915, 18eqeq12d 2625 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ↔ (𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧))))
20 fveq1 6102 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑔 → (𝑘‘0) = (𝑔‘0))
2120eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑔 → ((𝑘‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢) ↔ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢)))
2219, 21anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑔 → (((𝐹𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢)) ↔ ((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢))))
2322cbvriotav 6522 . . . . 5 (𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢)))
24 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢𝐺𝑧) = (𝑥𝐺𝑧))
2524mpteq2dv 4673 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)))
2625eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → ((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ↔ (𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧))))
27 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑥 → (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥))
2827eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → ((𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢) ↔ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥)))
2926, 28anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑥 → (((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢)) ↔ ((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
3029riotabidv 6513 . . . . 5 (𝑢 = 𝑥 → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
3123, 30syl5eq 2656 . . . 4 (𝑢 = 𝑥 → (𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
3231fveq1d 6105 . . 3 (𝑢 = 𝑥 → ((𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢)))‘𝑣) = ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑣))
33 fveq2 6103 . . 3 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑣) = ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑦))
3432, 33cbvmpt2v 6633 . 2 (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢)))‘𝑣)) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑦))
351, 2, 3, 4, 5, 14, 34cvmlift2lem13 30551 1 (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (0𝑓0) = 𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃!wreu 2898  ∪ cuni 4372   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816  [,]cicc 12049   Cn ccn 20838   ×t ctx 21173  IIcii 22486   CovMap ccvm 30491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-con 21025  df-lly 21079  df-nlly 21080  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-ii 22488  df-htpy 22577  df-phtpy 22578  df-phtpc 22599  df-pcon 30457  df-scon 30458  df-cvm 30492 This theorem is referenced by:  cvmliftpht  30554
 Copyright terms: Public domain W3C validator