Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  constlimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constlimc 38691
 Description: Limit of constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
constlimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
constlimc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
constlimc.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
constlimc.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
constlimc (𝜑𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem constlimc
Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 constlimc.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 1rp 11712 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
4 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣𝐴)
5 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑣 ∈ V
6 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝐵
7 csbtt 3510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑥𝐵) → 𝑣 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
85, 6, 7mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑣 / 𝑥𝐵 = 𝐵
98, 1syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑣 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
11 constlimc.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
1211fvmpts 6194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐴𝑣 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹𝑣) = 𝑣 / 𝑥𝐵)
134, 10, 12syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) = 𝑣 / 𝑥𝐵)
1413oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝐴) → ((𝐹𝑣) − 𝐵) = (𝑣 / 𝑥𝐵𝐵))
158oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 / 𝑥𝐵𝐵) = (𝐵𝐵)
1614, 15syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣𝐴) → ((𝐹𝑣) − 𝐵) = (𝐵𝐵))
1716fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐵)))
181subidd 10259 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
1918fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐵)) = (abs‘0))
2019adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘(𝐵𝐵)) = (abs‘0))
21 abs0 13873 . . . . . . . . . 10 (abs‘0) = 0
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘0) = 0)
2317, 20, 223eqtrd 2648 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) = 0)
2423adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) = 0)
25 rpgt0 11720 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
2625ad2antlr 759 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → 0 < 𝑦)
2724, 26eqbrtrd 4605 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)
2827a1d 25 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
2928ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
30 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑤 = 1 → ((abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑣𝐶)) < 1))
3130anbi2d 736 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) ↔ (𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 1)))
3231imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦) ↔ ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)))
3332ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦) ↔ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)))
3433rspcev 3282 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
353, 29, 34syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
3635ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
371adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3837, 11fmptd 6292 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
39 constlimc.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
40 constlimc.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4138, 39, 40ellimc3 23449 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))))
421, 36, 41mpbir2and 959 1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  ⦋csb 3499   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   − cmin 10145  ℝ+crp 11708  abscabs 13822   limℂ climc 23432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cnp 20842  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436 This theorem is referenced by:  reclimc  38720  fourierdlem53  39052  fourierdlem60  39059  fourierdlem61  39060  fourierdlem73  39072  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem76  39075  fouriersw  39124
 Copyright terms: Public domain W3C validator