Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsrng 19599
 Description: The complex numbers form a *-ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnsrng fld ∈ *-Ring

Proof of Theorem cnsrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 19571 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3 cnfldadd 19572 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
43a1i 11 . . 3 (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
5 cnfldmul 19573 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
65a1i 11 . . 3 (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
7 cnfldcj 19574 . . . 4 ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
87a1i 11 . . 3 (⊤ → ∗ = (*𝑟‘ℂfld))
9 cnring 19587 . . . 4 fld ∈ Ring
109a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
11 cjcl 13693 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
1211adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
13 cjadd 13729 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 + 𝑦)) = ((∗‘𝑥) + (∗‘𝑦)))
14133adant1 1072 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 + 𝑦)) = ((∗‘𝑥) + (∗‘𝑦)))
15 mulcom 9901 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
1615fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = (∗‘(𝑦 · 𝑥)))
17 cjmul 13730 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑦 · 𝑥)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
1817ancoms 468 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑦 · 𝑥)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
1916, 18eqtrd 2644 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
20193adant1 1072 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
21 cjcj 13728 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑥)) = 𝑥)
2221adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘(∗‘𝑥)) = 𝑥)
232, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 20, 22issrngd 18684 . 2 (⊤ → ℂfld ∈ *-Ring)
2423trud 1484 1 fld ∈ *-Ring
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   · cmul 9820  ∗ccj 13684  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  *𝑟cstv 15770  Ringcrg 18370  *-Ringcsr 18667  ℂfldccnfld 19567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-rnghom 18538  df-staf 18668  df-srng 18669  df-cnfld 19568 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator