MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsrng Structured version   Unicode version

Theorem cnsrng 18650
Description: The complex numbers form a *-ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnsrng  |-fld  e.  *Ring

Proof of Theorem cnsrng
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18622 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  CC  =  ( Base ` fld ) )
3 cnfldadd 18623 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
43a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  +  =  ( +g  ` fld ) )
5 cnfldmul 18624 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
65a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  x.  =  ( .r
` fld
) )
7 cnfldcj 18625 . . . 4  |-  *  =  ( *r ` fld )
87a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  *  =  (
*r ` fld ) )
9 cnring 18638 . . . 4  |-fld  e.  Ring
109a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->fld  e. 
Ring )
11 cjcl 13023 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
* `  x )  e.  CC )
1211adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
* `  x )  e.  CC )
13 cjadd 13059 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( * `  (
x  +  y ) )  =  ( ( * `  x )  +  ( * `  y ) ) )
14133adant1 1012 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
* `  ( x  +  y ) )  =  ( ( * `
 x )  +  ( * `  y
) ) )
15 mulcom 9567 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
1615fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( * `  (
x  x.  y ) )  =  ( * `
 ( y  x.  x ) ) )
17 cjmul 13060 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( * `  (
y  x.  x ) )  =  ( ( * `  y )  x.  ( * `  x ) ) )
1817ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( * `  (
y  x.  x ) )  =  ( ( * `  y )  x.  ( * `  x ) ) )
1916, 18eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( * `  (
x  x.  y ) )  =  ( ( * `  y )  x.  ( * `  x ) ) )
20193adant1 1012 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
* `  ( x  x.  y ) )  =  ( ( * `  y )  x.  (
* `  x )
) )
21 cjcj 13058 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  x ) )  =  x )
2221adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
* `  ( * `  x ) )  =  x )
232, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 20, 22issrngd 17708 . 2  |-  ( T. 
->fld  e.  *Ring )
2423trud 1407 1  |-fld  e.  *Ring
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479    + caddc 9484    x. cmul 9486   *ccj 13014   Basecbs 14719   +g cplusg 14787   .rcmulr 14788   *rcstv 14789   Ringcrg 17396   *Ringcsr 17691  ℂfldccnfld 18618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-grp 16259  df-ghm 16467  df-cmn 17002  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-oppr 17470  df-rnghom 17562  df-staf 17692  df-srng 17693  df-cnfld 18619
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator