MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsrng Structured version   Unicode version

Theorem cnsrng 17956
Description: The complex numbers form a *-ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnsrng  |-fld  e.  *Ring

Proof of Theorem cnsrng
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 17928 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  CC  =  ( Base ` fld ) )
3 cnfldadd 17929 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
43a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  +  =  ( +g  ` fld ) )
5 cnfldmul 17930 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
65a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  x.  =  ( .r
` fld
) )
7 cnfldcj 17931 . . . 4  |-  *  =  ( *r ` fld )
87a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  *  =  (
*r ` fld ) )
9 cnrng 17944 . . . 4  |-fld  e.  Ring
109a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->fld  e. 
Ring )
11 cjcl 12693 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
* `  x )  e.  CC )
1211adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
* `  x )  e.  CC )
13 cjadd 12729 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( * `  (
x  +  y ) )  =  ( ( * `  x )  +  ( * `  y ) ) )
14133adant1 1006 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
* `  ( x  +  y ) )  =  ( ( * `
 x )  +  ( * `  y
) ) )
15 mulcom 9466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
1615fveq2d 5790 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( * `  (
x  x.  y ) )  =  ( * `
 ( y  x.  x ) ) )
17 cjmul 12730 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( * `  (
y  x.  x ) )  =  ( ( * `  y )  x.  ( * `  x ) ) )
1817ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( * `  (
y  x.  x ) )  =  ( ( * `  y )  x.  ( * `  x ) ) )
1916, 18eqtrd 2491 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( * `  (
x  x.  y ) )  =  ( ( * `  y )  x.  ( * `  x ) ) )
20193adant1 1006 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
* `  ( x  x.  y ) )  =  ( ( * `  y )  x.  (
* `  x )
) )
21 cjcj 12728 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  x ) )  =  x )
2221adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
* `  ( * `  x ) )  =  x )
232, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 20, 22issrngd 17049 . 2  |-  ( T. 
->fld  e.  *Ring )
2423trud 1379 1  |-fld  e.  *Ring
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   CCcc 9378    + caddc 9383    x. cmul 9385   *ccj 12684   Basecbs 14273   +g cplusg 14337   .rcmulr 14338   *rcstv 14339   Ringcrg 16748   *Ringcsr 17032  ℂfldccnfld 17924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-addf 9459  ax-mulf 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-tpos 6842  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-dec 10854  df-uz 10960  df-fz 11536  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-starv 14352  df-tset 14356  df-ple 14357  df-ds 14359  df-unif 14360  df-0g 14479  df-mnd 15514  df-mhm 15563  df-grp 15644  df-ghm 15844  df-cmn 16380  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-rng 16750  df-cring 16751  df-oppr 16818  df-rnghom 16909  df-staf 17033  df-srng 17034  df-cnfld 17925
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator