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Theorem cdj3lem1 28677
 Description: A property of "𝐴 and 𝐵 are completely disjoint subspaces." Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj1.1 𝐴S
cdj1.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
cdj3lem1 (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝐴𝐵) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cdj3lem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3758 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵))
2 cdj1.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵S
3 neg1cn 11001 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℂ
4 shmulcl 27459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝐵) → (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵)
52, 3, 4mp3an12 1406 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝐵 → (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵)
65anim2i 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐴𝑤𝐵) → (𝑤𝐴 ∧ (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵))
71, 6sylbi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑤𝐴 ∧ (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵))
8 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (norm𝑦) = (norm𝑤))
98oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → ((norm𝑦) + (norm𝑧)) = ((norm𝑤) + (norm𝑧)))
10 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 + 𝑧) = (𝑤 + 𝑧))
1110fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (norm‘(𝑦 + 𝑧)) = (norm‘(𝑤 + 𝑧)))
1211oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) = (𝑥 · (norm‘(𝑤 + 𝑧))))
139, 12breq12d 4596 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) ↔ ((norm𝑤) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + 𝑧)))))
14 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (norm𝑧) = (norm‘(-1 · 𝑤)))
1514oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → ((norm𝑤) + (norm𝑧)) = ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))))
16 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (𝑤 + 𝑧) = (𝑤 + (-1 · 𝑤)))
1716fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (norm‘(𝑤 + 𝑧)) = (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))
1817oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (𝑥 · (norm‘(𝑤 + 𝑧))) = (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))))
1915, 18breq12d 4596 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (((norm𝑤) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + 𝑧))) ↔ ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))))
2013, 19rspc2v 3293 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐴 ∧ (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))))
217, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))))
2221adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))))
23 cdj1.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴S
2423, 2shincli 27605 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵) ∈ S
2524sheli 27455 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑤 ∈ ℋ)
26 normneg 27385 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℋ → (norm‘(-1 · 𝑤)) = (norm𝑤))
2726oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) = ((norm𝑤) + (norm𝑤)))
28 normcl 27366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℋ → (norm𝑤) ∈ ℝ)
2928recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℋ → (norm𝑤) ∈ ℂ)
30292timesd 11152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → (2 · (norm𝑤)) = ((norm𝑤) + (norm𝑤)))
3127, 30eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) = (2 · (norm𝑤)))
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) = (2 · (norm𝑤)))
33 hvnegid 27268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑤 + (-1 · 𝑤)) = 0)
3433fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))) = (norm‘0))
35 norm0 27369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (norm‘0) = 0
3634, 35syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))) = 0)
3736oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) = (𝑥 · 0))
38 recn 9905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3938mul01d 10114 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 0) = 0)
4037, 39sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) = 0)
41 2t0e0 11060 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 0) = 0
4240, 41syl6eqr 2662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) = (2 · 0))
4332, 42breq12d 4596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) ↔ (2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0)))
44 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
45 letri3 10002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((norm𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((norm𝑤) = 0 ↔ ((norm𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm𝑤))))
4628, 44, 45sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) = 0 ↔ ((norm𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm𝑤))))
47 normge0 27367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝑤))
4847biantrud 527 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) ≤ 0 ↔ ((norm𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm𝑤))))
49 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
50 2pos 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
5149, 50pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
52 lemul2 10755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((norm𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((norm𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0)))
5344, 51, 52mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((norm𝑤) ∈ ℝ → ((norm𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0)))
5428, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0)))
5546, 48, 543bitr2rd 296 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℋ → ((2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ (norm𝑤) = 0))
56 norm-i 27370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = 0))
5755, 56bitrd 267 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℋ → ((2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ 𝑤 = 0))
5857adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ 𝑤 = 0))
5943, 58bitrd 267 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) ↔ 𝑤 = 0))
6025, 59sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → (((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) ↔ 𝑤 = 0))
6122, 60sylibd 228 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → 𝑤 = 0))
6261impancom 455 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑤 = 0))
63 elch0 27495 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ 0𝑤 = 0)
6462, 63syl6ibr 241 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑤 ∈ 0))
6564ssrdv 3574 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝐴𝐵) ⊆ 0)
6665ex 449 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → (𝐴𝐵) ⊆ 0))
67 shle0 27685 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ S → ((𝐴𝐵) ⊆ 0 ↔ (𝐴𝐵) = 0))
6824, 67ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴𝐵) ⊆ 0 ↔ (𝐴𝐵) = 0)
6966, 68syl6ib 240 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → (𝐴𝐵) = 0))
7069adantld 482 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝐴𝐵) = 0))
7170rexlimiv 3009 1 (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝐴𝐵) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954  -cneg 10146  2c2 10947   ℋchil 27160   +ℎ cva 27161   ·ℎ csm 27162  normℎcno 27164  0ℎc0v 27165   Sℋ csh 27169  0ℋc0h 27176 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his3 27325  ax-his4 27326 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-hnorm 27209  df-hvsub 27212  df-sh 27448  df-ch0 27494 This theorem is referenced by:  cdj3lem2b  28680  cdj3i  28684
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