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Theorem cdj3lem1 28029
Description: A property of " A and  B are completely disjoint subspaces." Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj1.1  |-  A  e.  SH
cdj1.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
cdj3lem1  |-  ( E. x  e.  RR  (
0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem cdj3lem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( w  e.  A  /\  w  e.  B ) )
2 cdj1.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  e.  SH
3 neg1cn 10664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  CC
4 shmulcl 26813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  SH  /\  -u 1  e.  CC  /\  w  e.  B )  ->  ( -u 1  .h  w )  e.  B
)
52, 3, 4mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  B  ->  ( -u 1  .h  w )  e.  B )
65anim2i 571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  ( w  e.  A  /\  ( -u 1  .h  w )  e.  B
) )
71, 6sylbi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( w  e.  A  /\  ( -u 1  .h  w )  e.  B ) )
8 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  w )
)
98oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  =  ( ( normh `  w )  +  ( normh `  z
) ) )
10 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  ->  (
y  +h  z )  =  ( w  +h  z ) )
1110fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( normh `  ( y  +h  z ) )  =  ( normh `  ( w  +h  z ) ) )
1211oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) )  =  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  z ) ) ) )
139, 12breq12d 4379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  <-> 
( ( normh `  w
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( w  +h  z ) ) ) ) )
14 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  ( normh `  z )  =  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )
1514oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  (
( normh `  w )  +  ( normh `  z
) )  =  ( ( normh `  w )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) ) )
16 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  (
w  +h  z )  =  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) )
1716fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  ( normh `  ( w  +h  z ) )  =  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )
1817oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  (
x  x.  ( normh `  ( w  +h  z
) ) )  =  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) ) ) )
1915, 18breq12d 4379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  (
( ( normh `  w
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( w  +h  z ) ) )  <-> 
( ( normh `  w
)  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) ) ) )
2013, 19rspc2v 3134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  A  /\  ( -u 1  .h  w
)  e.  B )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) ) ) )
217, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) )  -> 
( ( normh `  w
)  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) ) ) )
2221adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ( A  i^i  B ) )  -> 
( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  z ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) ) ) )
23 cdj1.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e.  SH
2423, 2shincli 26957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  B )  e.  SH
2524sheli 26809 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  w  e.  ~H )
26 normneg 26739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) )  =  ( normh `  w )
)
2726oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  =  ( ( normh `  w )  +  ( normh `  w
) ) )
28 normcl 26720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  w )  e.  RR )
2928recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  w )  e.  CC )
30292timesd 10806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
2  x.  ( normh `  w ) )  =  ( ( normh `  w
)  +  ( normh `  w ) ) )
3127, 30eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  =  ( 2  x.  ( normh `  w ) ) )
3231adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  w
)  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  =  ( 2  x.  ( normh `  w )
) )
33 hvnegid 26622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
w  +h  ( -u
1  .h  w ) )  =  0h )
3433fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) )  =  ( normh `  0h )
)
35 norm0 26723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( normh `  0h )  =  0
3634, 35syl6eq 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) )  =  0 )
3736oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )  =  ( x  x.  0 ) )
38 recn 9580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
3938mul01d 9783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  x.  0 )  =  0 )
4037, 39sylan9eqr 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) ) )  =  0 )
41 2t0e0 10716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
4240, 41syl6eqr 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
4332, 42breq12d 4379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )  <->  ( 2  x.  ( normh `  w )
)  <_  ( 2  x.  0 ) ) )
44 0re 9594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
45 letri3 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  w )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( normh `  w )  =  0  <->  ( ( normh `  w )  <_ 
0  /\  0  <_  (
normh `  w ) ) ) )
4628, 44, 45sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  =  0  <->  ( ( normh `  w )  <_ 
0  /\  0  <_  (
normh `  w ) ) ) )
47 normge0 26721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  w )
)
4847biantrud 509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  <_  0  <->  ( ( normh `  w )  <_  0  /\  0  <_  ( normh `  w ) ) ) )
49 2re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
50 2pos 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
5149, 50pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
52 lemul2 10409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( normh `  w )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( normh `  w
)  <_  0  <->  ( 2  x.  ( normh `  w
) )  <_  (
2  x.  0 ) ) )
5344, 51, 52mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh `  w )  e.  RR  ->  ( ( normh `  w )  <_ 
0  <->  ( 2  x.  ( normh `  w )
)  <_  ( 2  x.  0 ) ) )
5428, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  <_  0  <->  ( 2  x.  ( normh `  w )
)  <_  ( 2  x.  0 ) ) )
5546, 48, 543bitr2rd 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( 2  x.  ( normh `  w ) )  <_  ( 2  x.  0 )  <->  ( normh `  w )  =  0 ) )
56 norm-i 26724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  =  0  <->  w  =  0h ) )
5755, 56bitrd 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( 2  x.  ( normh `  w ) )  <_  ( 2  x.  0 )  <->  w  =  0h ) )
5857adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( 2  x.  ( normh `  w )
)  <_  ( 2  x.  0 )  <->  w  =  0h ) )
5943, 58bitrd 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )  <->  w  =  0h ) )
6025, 59sylan2 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ( A  i^i  B ) )  -> 
( ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )  <->  w  =  0h ) )
6122, 60sylibd 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ( A  i^i  B ) )  -> 
( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  z ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  w  =  0h ) )
6261impancom 441 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  w  =  0h ) )
63 elch0 26849 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  0H  <->  w  =  0h )
6462, 63syl6ibr 230 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  w  e.  0H ) )
6564ssrdv 3413 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  0H )
6665ex 435 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  0H )
)
67 shle0 27037 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  SH  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  0H  <->  ( A  i^i  B )  =  0H ) )
6824, 67ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  0H  <->  ( A  i^i  B )  =  0H )
6966, 68syl6ib 229 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H ) )
7069adantld 468 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H ) )
7170rexlimiv 2850 1  |-  ( E. x  e.  RR  (
0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715    i^i cin 3378    C_ wss 3379   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627   -ucneg 9812   2c2 10610   ~Hchil 26514    +h cva 26515    .h csm 26516   normhcno 26518   0hc0v 26519   SHcsh 26523   0Hc0h 26530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-hilex 26594  ax-hfvadd 26595  ax-hvcom 26596  ax-hv0cl 26598  ax-hvaddid 26599  ax-hfvmul 26600  ax-hvmulid 26601  ax-hvmulass 26602  ax-hvdistr1 26603  ax-hvdistr2 26604  ax-hvmul0 26605  ax-hfi 26674  ax-his1 26677  ax-his3 26679  ax-his4 26680
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-sup 7909  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-hnorm 26563  df-hvsub 26566  df-sh 26802  df-ch0 26848
This theorem is referenced by:  cdj3lem2b  28032  cdj3i  28036
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