Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3lem2 28678
 Description: Lemma for cdj3i 28684. Value of the first-component function 𝑆. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1 𝐴S
cdj3lem2.2 𝐵S
cdj3lem2.3 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
Assertion
Ref Expression
cdj3lem2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem2
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . . . 5 𝐴S
2 cdj3lem2.2 . . . . 5 𝐵S
31, 2shsvai 27607 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵))
4 eqeq1 2614 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐶 + 𝐷) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ↔ (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
54rexbidv 3034 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐶 + 𝐷) → (∃𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
65riotabidv 6513 . . . . 5 (𝑥 = (𝐶 + 𝐷) → (𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) = (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
7 cdj3lem2.3 . . . . 5 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
8 riotaex 6515 . . . . 5 (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6191 . . . 4 ((𝐶 + 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
103, 9syl 17 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
11103adant3 1074 . 2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)))
12 eqid 2610 . . . . 5 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝐷)
13 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐷 → (𝐶 + 𝑤) = (𝐶 + 𝐷))
1413eqeq2d 2620 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐷 → ((𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤) ↔ (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝐷)))
1514rspcev 3282 . . . . 5 ((𝐷𝐵 ∧ (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝐷)) → ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤))
1612, 15mpan2 703 . . . 4 (𝐷𝐵 → ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤))
17163ad2ant2 1076 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤))
18 simp1 1054 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → 𝐶𝐴)
191, 2cdjreui 28675 . . . . 5 (((𝐶 + 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ∃!𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤))
203, 19stoic3 1692 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ∃!𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤))
21 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 + 𝑤) = (𝐶 + 𝑤))
2221eqeq2d 2620 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐶 → ((𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤) ↔ (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤)))
2322rexbidv 3034 . . . . 5 (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤)))
2423riota2 6533 . . . 4 ((𝐶𝐴 ∧ ∃!𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) → (∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤) ↔ (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) = 𝐶))
2518, 20, 24syl2anc 691 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (∃𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝑤) ↔ (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) = 𝐶))
2617, 25mpbid 221 . 2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑧𝐴𝑤𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑧 + 𝑤)) = 𝐶)
2711, 26eqtrd 2644 1 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑆‘(𝐶 + 𝐷)) = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  ∃!wreu 2898   ∩ cin 3539   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549   +ℎ cva 27161   Sℋ csh 27169   +ℋ cph 27172  0ℋc0h 27176 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-grpo 26731  df-ablo 26783  df-hvsub 27212  df-sh 27448  df-ch0 27494  df-shs 27551 This theorem is referenced by:  cdj3lem2a  28679  cdj3lem2b  28680  cdj3lem3  28681  cdj3i  28684
 Copyright terms: Public domain W3C validator