Theorem 0csh0 13390

Description: Cyclically shifting an empty set/word always results in the empty word/set. (Contributed by AV, 25-Oct-2018.) (Revised by AV, 17-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0csh0	⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅

Proof of Theorem 0csh0

Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csh 13386	. . . 4 ⊢ cyclShift = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (#‘𝑤)), (#‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 substr ⟨0, (𝑛 mod (#‘𝑤))⟩))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → cyclShift = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (#‘𝑤)), (#‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 substr ⟨0, (𝑛 mod (#‘𝑤))⟩)))))
3		iftrue 4042	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (#‘𝑤)), (#‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 substr ⟨0, (𝑛 mod (#‘𝑤))⟩))) = ∅)
4	3	ad2antrl 760	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑤 = ∅ ∧ 𝑛 = 𝑁)) → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (#‘𝑤)), (#‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 substr ⟨0, (𝑛 mod (#‘𝑤))⟩))) = ∅)
5		0nn0 11184	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		f0 5999	. . . . . . 7 ⊢ ∅:∅⟶V
7		ffn 5958	. . . . . . . 8 ⊢ (∅:∅⟶V → ∅ Fn ∅)
8		fzo0 12361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^0) = ∅
9	8	eqcomi 2619	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ = (0..^0)
10	9	fneq2i 5900	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ Fn (0..^0))
11	7, 10	sylib 207	. . . . . . 7 ⊢ (∅:∅⟶V → ∅ Fn (0..^0))
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∅ Fn (0..^0)
13		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
14		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 0 → (0..^𝑙) = (0..^0))
15	14	fneq2d 5896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 0 → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
16	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 = 0) → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
17	13, 16	rspcedv 3286	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (∅ Fn (0..^0) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
18	5, 12, 17	mp2 9	. . . . 5 ⊢ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)
19		0ex 4718	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
20		fneq1 5893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^𝑙)))
21	20	rexbidv 3034	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
22	19, 21	elab 3319	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)} ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙))
23	18, 22	mpbir 220	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)})
25		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
26	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ V)
27	2, 4, 24, 25, 26	ovmpt2d 6686	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShift 𝑁) = ∅)
28		cshnz 13389	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShift 𝑁) = ∅)
29	27, 28	pm2.61i 175	1 ⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ifcif 4036  ⟨cop 4131   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334   mod cmo 12530  #chash 12979   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150   cyclShift ccsh 13385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-csh 13386

This theorem is referenced by:  cshw0  13391  cshwmodn  13392  cshwn  13394  cshwlen  13396  repswcshw  13409