MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0csh0 Structured version   Unicode version

Theorem 0csh0 12822
Description: Cyclically shifting an empty set/word always results in the empty word/set. (Contributed by AV, 25-Oct-2018.) (Revised by AV, 17-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
0csh0  |-  ( (/) cyclShift  N
)  =  (/)

Proof of Theorem 0csh0
Dummy variables  f 
l  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-csh 12818 . . . 4  |- cyclShift  =  ( w  e.  { f  |  E. l  e. 
NN0  f  Fn  (
0..^ l ) } ,  n  e.  ZZ  |->  if ( w  =  (/) ,  (/) ,  ( ( w substr  <. ( n  mod  ( # `
 w ) ) ,  ( # `  w
) >. ) ++  ( w substr  <. 0 ,  ( n  mod  ( # `  w
) ) >. )
) ) )
21a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  -> cyclShift  =  ( w  e.  { f  |  E. l  e. 
NN0  f  Fn  (
0..^ l ) } ,  n  e.  ZZ  |->  if ( w  =  (/) ,  (/) ,  ( ( w substr  <. ( n  mod  ( # `
 w ) ) ,  ( # `  w
) >. ) ++  ( w substr  <. 0 ,  ( n  mod  ( # `  w
) ) >. )
) ) ) )
3 iftrue 3893 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( w  =  (/) ,  (/) ,  ( ( w substr  <. (
n  mod  ( # `  w
) ) ,  (
# `  w ) >. ) ++  ( w substr  <. 0 ,  ( n  mod  ( # `  w ) ) >. ) ) )  =  (/) )
43ad2antrl 728 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( w  =  (/)  /\  n  =  N ) )  ->  if ( w  =  (/) ,  (/) ,  ( ( w substr  <. ( n  mod  ( # `
 w ) ) ,  ( # `  w
) >. ) ++  ( w substr  <. 0 ,  ( n  mod  ( # `  w
) ) >. )
) )  =  (/) )
5 0nn0 10853 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
6 f0 5751 . . . . . . 7  |-  (/) : (/) --> _V
7 ffn 5716 . . . . . . . 8  |-  ( (/) :
(/) --> _V  ->  (/)  Fn  (/) )
8 fzo0 11883 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
98eqcomi 2417 . . . . . . . . 9  |-  (/)  =  ( 0..^ 0 )
109fneq2i 5659 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  Fn  (/) 
<->  (/)  Fn  ( 0..^ 0 ) )
117, 10sylib 198 . . . . . . 7  |-  ( (/) :
(/) --> _V  ->  (/)  Fn  (
0..^ 0 ) )
126, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (/)  Fn  (
0..^ 0 )
13 id 23 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  NN0  ->  0  e. 
NN0 )
14 oveq2 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  0  ->  (
0..^ l )  =  ( 0..^ 0 ) )
1514fneq2d 5655 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  0  ->  ( (/) 
Fn  ( 0..^ l )  <->  (/)  Fn  ( 0..^ 0 ) ) )
1615adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  l  =  0 )  ->  ( (/)  Fn  (
0..^ l )  <->  (/)  Fn  (
0..^ 0 ) ) )
1713, 16rspcedv 3166 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( (/)  Fn  ( 0..^ 0 )  ->  E. l  e.  NN0  (/) 
Fn  ( 0..^ l ) ) )
185, 12, 17mp2 9 . . . . 5  |-  E. l  e.  NN0  (/)  Fn  ( 0..^ l )
19 0ex 4528 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
20 fneq1 5652 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (/)  ->  ( f  Fn  ( 0..^ l )  <->  (/)  Fn  ( 0..^ l ) ) )
2120rexbidv 2920 . . . . . 6  |-  ( f  =  (/)  ->  ( E. l  e.  NN0  f  Fn  ( 0..^ l )  <->  E. l  e.  NN0  (/) 
Fn  ( 0..^ l ) ) )
2219, 21elab 3198 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { f  |  E. l  e.  NN0  f  Fn  ( 0..^ l ) }  <->  E. l  e.  NN0  (/) 
Fn  ( 0..^ l ) )
2318, 22mpbir 211 . . . 4  |-  (/)  e.  {
f  |  E. l  e.  NN0  f  Fn  (
0..^ l ) }
2423a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (/)  e.  {
f  |  E. l  e.  NN0  f  Fn  (
0..^ l ) } )
25 id 23 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
2619a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (/)  e.  _V )
272, 4, 24, 25, 26ovmpt2d 6413 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( (/) cyclShift  N )  =  (/) )
28 cshnz 12821 . 2  |-  ( -.  N  e.  ZZ  ->  (
(/) cyclShift  N )  =  (/) )
2927, 28pm2.61i 166 1  |-  ( (/) cyclShift  N
)  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 186    = wceq 1407    e. wcel 1844   {cab 2389   E.wrex 2757   _Vcvv 3061   (/)c0 3740   ifcif 3887   <.cop 3980    Fn wfn 5566   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282   0cc0 9524   NN0cn0 10838   ZZcz 10907  ..^cfzo 11856    mod cmo 12036   #chash 12454   ++ cconcat 12587   substr csubstr 12589   cyclShift ccsh 12817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-csh 12818
This theorem is referenced by:  cshw0  12823  cshwmodn  12824  cshwn  12826  cshwlen  12828  repswcshw  12838
  Copyright terms: Public domain W3C validator