MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0csh0 Structured version   Unicode version

Theorem 0csh0 12723
Description: Cyclically shifting an empty set/word always results in the empty word/set. (Contributed by AV, 25-Oct-2018.) (Revised by AV, 17-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
0csh0  |-  ( (/) cyclShift  N
)  =  (/)

Proof of Theorem 0csh0
Dummy variables  f 
l  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-csh 12719 . . . 4  |- cyclShift  =  ( w  e.  { f  |  E. l  e. 
NN0  f  Fn  (
0..^ l ) } ,  n  e.  ZZ  |->  if ( w  =  (/) ,  (/) ,  ( ( w substr  <. ( n  mod  ( # `
 w ) ) ,  ( # `  w
) >. ) concat  ( w substr  <.
0 ,  ( n  mod  ( # `  w
) ) >. )
) ) )
21a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  -> cyclShift  =  ( w  e.  { f  |  E. l  e. 
NN0  f  Fn  (
0..^ l ) } ,  n  e.  ZZ  |->  if ( w  =  (/) ,  (/) ,  ( ( w substr  <. ( n  mod  ( # `
 w ) ) ,  ( # `  w
) >. ) concat  ( w substr  <.
0 ,  ( n  mod  ( # `  w
) ) >. )
) ) ) )
3 iftrue 3945 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( w  =  (/) ,  (/) ,  ( ( w substr  <. (
n  mod  ( # `  w
) ) ,  (
# `  w ) >. ) concat  ( w substr  <. 0 ,  ( n  mod  ( # `  w ) ) >. ) ) )  =  (/) )
43ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( w  =  (/)  /\  n  =  N ) )  ->  if ( w  =  (/) ,  (/) ,  ( ( w substr  <. ( n  mod  ( # `
 w ) ) ,  ( # `  w
) >. ) concat  ( w substr  <.
0 ,  ( n  mod  ( # `  w
) ) >. )
) )  =  (/) )
5 0nn0 10806 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
6 f0 5764 . . . . . . 7  |-  (/) : (/) --> _V
7 ffn 5729 . . . . . . . 8  |-  ( (/) :
(/) --> _V  ->  (/)  Fn  (/) )
8 fzo0 11813 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
98eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  (/)  =  ( 0..^ 0 )
109fneq2i 5674 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  Fn  (/) 
<->  (/)  Fn  ( 0..^ 0 ) )
117, 10sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (/) :
(/) --> _V  ->  (/)  Fn  (
0..^ 0 ) )
126, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (/)  Fn  (
0..^ 0 )
13 id 22 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  NN0  ->  0  e. 
NN0 )
14 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  0  ->  (
0..^ l )  =  ( 0..^ 0 ) )
1514fneq2d 5670 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  0  ->  ( (/) 
Fn  ( 0..^ l )  <->  (/)  Fn  ( 0..^ 0 ) ) )
1615adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  l  =  0 )  ->  ( (/)  Fn  (
0..^ l )  <->  (/)  Fn  (
0..^ 0 ) ) )
1713, 16rspcedv 3218 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( (/)  Fn  ( 0..^ 0 )  ->  E. l  e.  NN0  (/) 
Fn  ( 0..^ l ) ) )
185, 12, 17mp2 9 . . . . 5  |-  E. l  e.  NN0  (/)  Fn  ( 0..^ l )
19 0ex 4577 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
20 fneq1 5667 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (/)  ->  ( f  Fn  ( 0..^ l )  <->  (/)  Fn  ( 0..^ l ) ) )
2120rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( f  =  (/)  ->  ( E. l  e.  NN0  f  Fn  ( 0..^ l )  <->  E. l  e.  NN0  (/) 
Fn  ( 0..^ l ) ) )
2219, 21elab 3250 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { f  |  E. l  e.  NN0  f  Fn  ( 0..^ l ) }  <->  E. l  e.  NN0  (/) 
Fn  ( 0..^ l ) )
2318, 22mpbir 209 . . . 4  |-  (/)  e.  {
f  |  E. l  e.  NN0  f  Fn  (
0..^ l ) }
2423a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (/)  e.  {
f  |  E. l  e.  NN0  f  Fn  (
0..^ l ) } )
25 id 22 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
2619a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (/)  e.  _V )
272, 4, 24, 25, 26ovmpt2d 6412 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( (/) cyclShift  N )  =  (/) )
28 cshnz 12722 . 2  |-  ( -.  N  e.  ZZ  ->  (
(/) cyclShift  N )  =  (/) )
2927, 28pm2.61i 164 1  |-  ( (/) cyclShift  N
)  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   ifcif 3939   <.cop 4033    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   0cc0 9488   NN0cn0 10791   ZZcz 10860  ..^cfzo 11788    mod cmo 11960   #chash 12369   concat cconcat 12498   substr csubstr 12500   cyclShift ccsh 12718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-csh 12719
This theorem is referenced by:  cshw0  12724  cshwmodn  12725  cshwn  12727  cshwlen  12729  repswcshw  12739
  Copyright terms: Public domain W3C validator