MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0csh0 Structured version   Unicode version

Theorem 0csh0 12534
Description: Cyclically shifting an empty set/word always results in the empty word/set. (Contributed by AV, 25-Oct-2018.) (Revised by AV, 17-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
0csh0  |-  ( (/) cyclShift  N
)  =  (/)

Proof of Theorem 0csh0
Dummy variables  f 
l  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-csh 12530 . . . 4  |- cyclShift  =  ( w  e.  { f  |  E. l  e. 
NN0  f  Fn  (
0..^ l ) } ,  n  e.  ZZ  |->  if ( w  =  (/) ,  (/) ,  ( ( w substr  <. ( n  mod  ( # `
 w ) ) ,  ( # `  w
) >. ) concat  ( w substr  <.
0 ,  ( n  mod  ( # `  w
) ) >. )
) ) )
21a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  -> cyclShift  =  ( w  e.  { f  |  E. l  e. 
NN0  f  Fn  (
0..^ l ) } ,  n  e.  ZZ  |->  if ( w  =  (/) ,  (/) ,  ( ( w substr  <. ( n  mod  ( # `
 w ) ) ,  ( # `  w
) >. ) concat  ( w substr  <.
0 ,  ( n  mod  ( # `  w
) ) >. )
) ) ) )
3 iftrue 3897 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( w  =  (/) ,  (/) ,  ( ( w substr  <. (
n  mod  ( # `  w
) ) ,  (
# `  w ) >. ) concat  ( w substr  <. 0 ,  ( n  mod  ( # `  w ) ) >. ) ) )  =  (/) )
43ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( w  =  (/)  /\  n  =  N ) )  ->  if ( w  =  (/) ,  (/) ,  ( ( w substr  <. ( n  mod  ( # `
 w ) ) ,  ( # `  w
) >. ) concat  ( w substr  <.
0 ,  ( n  mod  ( # `  w
) ) >. )
) )  =  (/) )
5 0nn0 10697 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
6 f0 5692 . . . . . . 7  |-  (/) : (/) --> _V
7 ffn 5659 . . . . . . . 8  |-  ( (/) :
(/) --> _V  ->  (/)  Fn  (/) )
8 fzo0 11676 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
98eqcomi 2464 . . . . . . . . 9  |-  (/)  =  ( 0..^ 0 )
109fneq2i 5606 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  Fn  (/) 
<->  (/)  Fn  ( 0..^ 0 ) )
117, 10sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (/) :
(/) --> _V  ->  (/)  Fn  (
0..^ 0 ) )
126, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (/)  Fn  (
0..^ 0 )
13 id 22 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  NN0  ->  0  e. 
NN0 )
14 oveq2 6200 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  0  ->  (
0..^ l )  =  ( 0..^ 0 ) )
1514fneq2d 5602 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  0  ->  ( (/) 
Fn  ( 0..^ l )  <->  (/)  Fn  ( 0..^ 0 ) ) )
1615adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  l  =  0 )  ->  ( (/)  Fn  (
0..^ l )  <->  (/)  Fn  (
0..^ 0 ) ) )
1713, 16rspcedv 3175 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( (/)  Fn  ( 0..^ 0 )  ->  E. l  e.  NN0  (/) 
Fn  ( 0..^ l ) ) )
185, 12, 17mp2 9 . . . . 5  |-  E. l  e.  NN0  (/)  Fn  ( 0..^ l )
19 0ex 4522 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
20 fneq1 5599 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (/)  ->  ( f  Fn  ( 0..^ l )  <->  (/)  Fn  ( 0..^ l ) ) )
2120rexbidv 2848 . . . . . 6  |-  ( f  =  (/)  ->  ( E. l  e.  NN0  f  Fn  ( 0..^ l )  <->  E. l  e.  NN0  (/) 
Fn  ( 0..^ l ) ) )
2219, 21elab 3205 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { f  |  E. l  e.  NN0  f  Fn  ( 0..^ l ) }  <->  E. l  e.  NN0  (/) 
Fn  ( 0..^ l ) )
2318, 22mpbir 209 . . . 4  |-  (/)  e.  {
f  |  E. l  e.  NN0  f  Fn  (
0..^ l ) }
2423a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (/)  e.  {
f  |  E. l  e.  NN0  f  Fn  (
0..^ l ) } )
25 id 22 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
2619a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (/)  e.  _V )
272, 4, 24, 25, 26ovmpt2d 6320 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( (/) cyclShift  N )  =  (/) )
28 cshnz 12533 . 2  |-  ( -.  N  e.  ZZ  ->  (
(/) cyclShift  N )  =  (/) )
2927, 28pm2.61i 164 1  |-  ( (/) cyclShift  N
)  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2436   E.wrex 2796   _Vcvv 3070   (/)c0 3737   ifcif 3891   <.cop 3983    Fn wfn 5513   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    |-> cmpt2 6194   0cc0 9385   NN0cn0 10682   ZZcz 10749  ..^cfzo 11651    mod cmo 11811   #chash 12206   concat cconcat 12327   substr csubstr 12329   cyclShift ccsh 12529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-csh 12530
This theorem is referenced by:  cshw0  12535  cshwmodn  12536  cshwn  12538  cshwlen  12540  repswcshw  12550
  Copyright terms: Public domain W3C validator