MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f0 5999
Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
f0 ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 ∅ = ∅
2 fn0 5924 . . 3 (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
31, 2mpbir 220 . 2 ∅ Fn ∅
4 rn0 5298 . . 3 ran ∅ = ∅
5 0ss 3924 . . 3 ∅ ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 3598 . 2 ran ∅ ⊆ 𝐴
7 df-f 5808 . 2 (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
83, 6, 7mpbir2an 957 1 ∅:∅⟶𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wss 3540  c0 3874  ran crn 5039   Fn wfn 5799  wf 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808
This theorem is referenced by:  f00  6000  f0bi  6001  f10  6081  map0g  7783  ac6sfi  8089  oif  8318  wrd0  13185  0csh0  13390  ram0  15564  0ssc  16320  0subcat  16321  gsum0  17101  ga0  17554  0frgp  18015  ptcmpfi  21426  0met  21981  perfdvf  23473  uhgr0e  25737  uhgr0  25739  uhgra0  25838  umgra0  25854  vdgr0  26427  locfinref  29236  matunitlindf  32577  poimirlem28  32607  mapdm0  38378  0cnf  38762  dvnprodlem3  38838  mbf0  38849  sge00  39269  hoidmvlelem3  39487  griedg0prc  40488
  Copyright terms: Public domain W3C validator