Theorem mapdm0 38378

Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mapdm0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑𝑚 ∅) = {∅})

Proof of Theorem mapdm0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4718	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		elmapg 7757	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐴))
3	1, 2	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐴))
4	3	biimpa 500	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅)) → 𝑓:∅⟶𝐴)
5		f0bi 6001	. . . 4 ⊢ (𝑓:∅⟶𝐴 ↔ 𝑓 = ∅)
6	4, 5	sylib 207	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅)) → 𝑓 = ∅)
7	6	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅)𝑓 = ∅)
8		f0 5999	. . . . . 6 ⊢ ∅:∅⟶𝐴
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅:∅⟶𝐴)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ V)
12		elmapg 7757	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (∅ ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅) ↔ ∅:∅⟶𝐴))
13	10, 11, 12	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅) ↔ ∅:∅⟶𝐴))
14	9, 13	mpbird 246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅))
15		ne0i 3880	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅) → (𝐴 ↑𝑚 ∅) ≠ ∅)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑𝑚 ∅) ≠ ∅)
17		eqsn 4301	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↑𝑚 ∅) ≠ ∅ → ((𝐴 ↑𝑚 ∅) = {∅} ↔ ∀𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅)𝑓 = ∅))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ↑𝑚 ∅) = {∅} ↔ ∀𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅)𝑓 = ∅))
19	7, 18	mpbird 246	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑𝑚 ∅) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746

This theorem is referenced by:  mpct  38388  rrxtopn0  39189  qndenserrnbl  39191  hoicvr  39438  ovn02  39458  ovnhoi  39493  ovnlecvr2  39500  hoiqssbl  39515  hoimbl  39521