Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpct 38388
 Description: The exponentiation of a countable set to a finite set is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mpct.a (𝜑𝐴 ≼ ω)
mpct.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
mpct (𝜑 → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mpct
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . 3 (𝑥 = ∅ → (𝐴𝑚 𝑥) = (𝐴𝑚 ∅))
21breq1d 4593 . 2 (𝑥 = ∅ → ((𝐴𝑚 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴𝑚 ∅) ≼ ω))
3 oveq2 6557 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑚 𝑥) = (𝐴𝑚 𝑦))
43breq1d 4593 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑚 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω))
5 oveq2 6557 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴𝑚 𝑥) = (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})))
65breq1d 4593 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴𝑚 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
7 oveq2 6557 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑚 𝑥) = (𝐴𝑚 𝐵))
87breq1d 4593 . 2 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑚 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴𝑚 𝐵) ≼ ω))
9 mpct.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ≼ ω)
10 ctex 7856 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
12 mapdm0 38378 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝑚 ∅) = {∅})
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑚 ∅) = {∅})
14 snfi 7923 . . . . 5 {∅} ∈ Fin
15 fict 8433 . . . . 5 ({∅} ∈ Fin → {∅} ≼ ω)
1614, 15ax-mp 5 . . . 4 {∅} ≼ ω
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → {∅} ≼ ω)
1813, 17eqbrtrd 4605 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑚 ∅) ≼ ω)
19 vex 3176 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → 𝑦 ∈ V)
21 snex 4835 . . . . . 6 {𝑧} ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → {𝑧} ∈ V)
2311ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
24 eldifn 3695 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐵𝑦) → ¬ 𝑧𝑦)
25 disjsn 4192 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
2624, 25sylibr 223 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐵𝑦) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
2726adantl 481 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
2827ad2antlr 759 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
29 mapunen 8014 . . . . 5 (((𝑦 ∈ V ∧ {𝑧} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴𝑚 𝑦) × (𝐴𝑚 {𝑧})))
3020, 22, 23, 28, 29syl31anc 1321 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴𝑚 𝑦) × (𝐴𝑚 {𝑧})))
31 simpr 476 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω)
32 vex 3176 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑧 ∈ V)
3411, 33mapsnend 38386 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑚 {𝑧}) ≈ 𝐴)
35 endomtr 7900 . . . . . . 7 (((𝐴𝑚 {𝑧}) ≈ 𝐴𝐴 ≼ ω) → (𝐴𝑚 {𝑧}) ≼ ω)
3634, 9, 35syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑚 {𝑧}) ≼ ω)
3736ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → (𝐴𝑚 {𝑧}) ≼ ω)
38 xpct 8722 . . . . 5 (((𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω ∧ (𝐴𝑚 {𝑧}) ≼ ω) → ((𝐴𝑚 𝑦) × (𝐴𝑚 {𝑧})) ≼ ω)
3931, 37, 38syl2anc 691 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → ((𝐴𝑚 𝑦) × (𝐴𝑚 {𝑧})) ≼ ω)
40 endomtr 7900 . . . 4 (((𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴𝑚 𝑦) × (𝐴𝑚 {𝑧})) ∧ ((𝐴𝑚 𝑦) × (𝐴𝑚 {𝑧})) ≼ ω) → (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
4130, 39, 40syl2anc 691 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
4241ex 449 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) → ((𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω → (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
43 mpct.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
442, 4, 6, 8, 18, 42, 43findcard2d 8087 1 (𝜑 → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ ω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ↑𝑚 cmap 7744   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648 This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  39523  smfmullem4  39679
 Copyright terms: Public domain W3C validator