MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f0 Structured version   Unicode version

Theorem f0 5724
Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
f0  |-  (/) : (/) --> A

Proof of Theorem f0
StepHypRef Expression
1 eqid 2428 . . 3  |-  (/)  =  (/)
2 fn0 5656 . . 3  |-  ( (/)  Fn  (/) 
<->  (/)  =  (/) )
31, 2mpbir 212 . 2  |-  (/)  Fn  (/)
4 rn0 5048 . . 3  |-  ran  (/)  =  (/)
5 0ss 3736 . . 3  |-  (/)  C_  A
64, 5eqsstri 3437 . 2  |-  ran  (/)  C_  A
7 df-f 5548 . 2  |-  ( (/) :
(/) --> A  <->  ( (/)  Fn  (/)  /\  ran  (/)  C_  A ) )
83, 6, 7mpbir2an 928 1  |-  (/) : (/) --> A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ran crn 4797    Fn wfn 5539   -->wf 5540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-br 4367  df-opab 4426  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548
This theorem is referenced by:  f00  5725  f0bi  5726  f10  5805  fconstfvOLD  6086  map0g  7466  ac6sfi  7768  oif  7998  wrd0  12639  wrd0OLD  12640  0csh0  12841  ram0  14923  0ssc  15685  0subcat  15686  gsum0  16464  ga0  16895  0frgp  17372  ptcmpfi  20770  0met  21323  perfdvf  22800  uhgra0  24978  umgra0  24994  vdgr0  25570  locfinref  28620  poimirlem28  31875  mapdm0  37375  0cnf  37637  dvnprodlem3  37706  mbf0  37717  sge00  38069  hoidmvlelem3  38266  uhgr0e  38938  uhgr0  38940  uhg0e  39279
  Copyright terms: Public domain W3C validator