Theorem uhgr0 25739

Description: The null graph represented by an empty set is a hypergraph. (Contributed by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0	⊢ ∅ ∈ UHGraph

Proof of Theorem uhgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 5999	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		dm0 5260	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		pw0 4283	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
4	3	difeq1i 3686	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅})
5		difid 3902	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
6	4, 5	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ∅
7	2, 6	feq23i 5952	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}) ↔ ∅:∅⟶∅)
8	1, 7	mpbir 220	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})
9		0ex 4718	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
10		vtxval0 25714	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
11	10	eqcomi 2619	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
12		iedgval0 25715	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2619	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14	11, 13	isuhgr 25726	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})))
15	9, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}))
16	8, 15	mpbir 220	1 ⊢ ∅ ∈ UHGraph

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   UHGraph cuhgr 25722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-slot 15699  df-base 15700  df-edgf 25668  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-uhgr 25724

This theorem is referenced by: (None)