MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rn0 5298
Description: The range of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)
Assertion
Ref Expression
rn0 ran ∅ = ∅

Proof of Theorem rn0
StepHypRef Expression
1 dm0 5260 . 2 dom ∅ = ∅
2 dm0rn0 5263 . 2 (dom ∅ = ∅ ↔ ran ∅ = ∅)
31, 2mpbi 219 1 ran ∅ = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  c0 3874  dom cdm 5038  ran crn 5039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049
This theorem is referenced by:  ima0  5400  0ima  5401  rnxpid  5486  xpima  5495  f0  5999  2ndval  7062  frxp  7174  oarec  7529  fodomr  7996  dfac5lem3  8831  itunitc  9126  0rest  15913  arwval  16516  pmtrfrn  17701  psgnsn  17763  oppglsm  17880  mpfrcl  19339  ply1frcl  19504  nbgra0edg  25961  uvtx01vtx  26020  rusgra0edg  26482  0ngrp  26749  bafval  26843  locfinref  29236  esumrnmpt2  29457  sibf0  29723  mvtval  30651  mrsubrn  30664  mrsub0  30667  mrsubf  30668  mrsubccat  30669  mrsubcn  30670  mrsubco  30672  mrsubvrs  30673  elmsubrn  30679  msubrn  30680  msubf  30683  mstaval  30695  mzpmfp  36328  dmnonrel  36915  imanonrel  36918  conrel1d  36974  clsneibex  37420  neicvgbex  37430  sge00  39269  0grsubgr  40502  0uhgrsubgr  40503
  Copyright terms: Public domain W3C validator