Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlidlring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlidlring 41718
 Description: The zero (left) ideal of a non-unital ring is a unital ring (the zero ring). (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
zlidlring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
zlidlring.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
zlidlring ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)

Proof of Theorem zlidlring
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
2 lidlabl.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
3 zlidlring.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
42, 3lidl0 19040 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝐿)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → { 0 } ∈ 𝐿)
6 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
85, 7mpbird 246 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈𝐿)
91, 8jca 553 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿))
10 lidlabl.i . . . . 5 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
112, 10lidlrng 41717 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Rng)
13 eleq1 2676 . . . . . . 7 ({ 0 } = 𝑈 → ({ 0 } ∈ 𝐿𝑈𝐿))
1413eqcoms 2618 . . . . . 6 (𝑈 = { 0 } → ({ 0 } ∈ 𝐿𝑈𝐿))
1514adantl 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿𝑈𝐿))
16 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
17 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1817, 3ring0cl 18392 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
1916, 18jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
20 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2117, 20, 3ringlz 18410 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
2221, 21jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ))
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ))
24 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑅) ∈ V
253, 24eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ V)
27 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 → ( 0 (.r𝑅)𝑦) = ( 0 (.r𝑅) 0 ))
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0𝑦 = 0 )
2927, 28eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 → (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ))
30 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 → (𝑦(.r𝑅) 0 ) = ( 0 (.r𝑅) 0 ))
3130, 28eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 → ((𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ))
3229, 31anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 → ((( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )))
3332ralsng 4165 . . . . . . . . . . . 12 ( 0 ∈ V → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )))
3426, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )))
3523, 34mpbird 246 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦))
36 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 0 → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = ( 0 (.r𝑅)𝑦))
3736eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦))
38 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 0 → (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (𝑦(.r𝑅) 0 ))
3938eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 0 → ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦))
4037, 39anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦)))
4140ralbidv 2969 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦)))
4241rexsng 4166 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ∈ V → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦)))
4326, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅) 0 ) = 𝑦)))
4435, 43mpbird 246 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
4544adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
4645adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
47 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → 𝑈𝐿)
482, 10lidlbas 41713 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (Base‘𝐼) = 𝑈)
50 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈 = { 0 })
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → 𝑈 = { 0 })
5249, 51eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (Base‘𝐼) = { 0 })
5310, 20ressmulr 15829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈𝐿 → (.r𝑅) = (.r𝐼))
5453eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈𝐿 → (.r𝐼) = (.r𝑅))
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (.r𝐼) = (.r𝑅))
5655oveqd 6566 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (𝑥(.r𝐼)𝑦) = (𝑥(.r𝑅)𝑦))
5756eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦))
5855oveqd 6566 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (𝑦(.r𝐼)𝑥) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
5958eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
6057, 59anbi12d 743 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)))
6152, 60raleqbidv 3129 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)))
6252, 61rexeqbidv 3130 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)))
6346, 62mpbird 246 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈𝐿) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦))
6463ex 449 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦)))
6515, 64sylbid 229 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦)))
665, 65mpd 15 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦))
6712, 66jca 553 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝐼 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦)))
68 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
69 eqid 2610 . . 3 (.r𝐼) = (.r𝐼)
7068, 69isringrng 41671 . 2 (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝐼 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝐼)𝑥) = 𝑦)))
7167, 70sylibr 223 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  LIdealclidl 18991  Rngcrng 41664 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rng0 41665 This theorem is referenced by:  uzlidlring  41719
 Copyright terms: Public domain W3C validator