Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lidlrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlrng 41717
 Description: A (left) ideal of a ring is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lidlrng ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)

Proof of Theorem lidlrng
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlabl.l . . 3 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2 lidlabl.i . . 3 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
31, 2lidlabl 41714 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝐼 ∈ Abel)
41, 2lidlmsgrp 41716 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ SGrp)
5 simpll 786 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑅 ∈ Ring)
61, 2lidlssbas 41712 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
76sseld 3567 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
86sseld 3567 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑏 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
96sseld 3567 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑐 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
107, 8, 93anim123d 1398 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
1110adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
1211imp 444 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
13 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
15 eqid 2610 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1613, 14, 15ringdi 18389 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)))
175, 12, 16syl2anc 691 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)))
1813, 14, 15ringdir 18390 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
195, 12, 18syl2anc 691 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
2017, 19jca 553 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
2120ralrimivvva 2955 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
222, 15ressmulr 15829 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐿 → (.r𝑅) = (.r𝐼))
2322eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (.r𝐼) = (.r𝑅))
24 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿𝑎 = 𝑎)
252, 14ressplusg 15818 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝐿 → (+g𝑅) = (+g𝐼))
2625eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐿 → (+g𝐼) = (+g𝑅))
2726oveqd 6566 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑏(+g𝐼)𝑐) = (𝑏(+g𝑅)𝑐))
2823, 24, 27oveq123d 6570 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)))
2923oveqd 6566 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)𝑏) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
3023oveqd 6566 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)𝑐))
3126, 29, 30oveq123d 6570 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)))
3228, 31eqeq12d 2625 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ↔ (𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐))))
3326oveqd 6566 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑎(+g𝐼)𝑏) = (𝑎(+g𝑅)𝑏))
34 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿𝑐 = 𝑐)
3523, 33, 34oveq123d 6570 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐))
3623oveqd 6566 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑏(.r𝐼)𝑐) = (𝑏(.r𝑅)𝑐))
3726, 30, 36oveq123d 6570 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
3835, 37eqeq12d 2625 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3932, 38anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑈𝐿 → (((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))) ↔ ((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))))
4039adantl 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))) ↔ ((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))))
4140ralbidv 2969 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))) ↔ ∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))))
42412ralbidv 2972 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))))
4321, 42mpbird 246 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))))
44 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
45 eqid 2610 . . 3 (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
46 eqid 2610 . . 3 (+g𝐼) = (+g𝐼)
47 eqid 2610 . . 3 (.r𝐼) = (.r𝐼)
4844, 45, 46, 47isrng 41666 . 2 (𝐼 ∈ Rng ↔ (𝐼 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝐼) ∈ SGrp ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)))))
493, 4, 43, 48syl3anbrc 1239 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  SGrpcsgrp 17106  Abelcabl 18017  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370  LIdealclidl 18991  Rngcrng 41664 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rng0 41665 This theorem is referenced by:  zlidlring  41718  uzlidlring  41719  2zrng  41725
 Copyright terms: Public domain W3C validator