Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voncmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voncmpl 39511
 Description: The Lebesgue measure is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is an observation written after Definition 115E of [Fremlin1] p. 31 (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
voncmpl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
voncmpl.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
voncmpl.e (𝜑𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
voncmpl.z (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
voncmpl.f (𝜑𝐹𝐸)
Assertion
Ref Expression
voncmpl (𝜑𝐹𝑆)

Proof of Theorem voncmpl
StepHypRef Expression
1 voncmpl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21ovnome 39463 . . 3 (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
3 eqid 2610 . . 3 dom (voln*‘𝑋) = dom (voln*‘𝑋)
4 voncmpl.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐸)
51dmvon 39496 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
6 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
76caragenss 39394 . . . . . . . 8 ((voln*‘𝑋) ∈ OutMeas → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
95, 8eqsstrd 3602 . . . . . 6 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
10 voncmpl.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
119, 10sseldd 3569 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋))
12 elssuni 4403 . . . . 5 (𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸 dom (voln*‘𝑋))
144, 13sstrd 3578 . . 3 (𝜑𝐹 dom (voln*‘𝑋))
15 voncmpl.z . . . . . . 7 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
1615eqcomd 2616 . . . . . 6 (𝜑 → 0 = ((voln‘𝑋)‘𝐸))
171vonval 39430 . . . . . . 7 (𝜑 → (voln‘𝑋) = ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
1817fveq1d 6105 . . . . . 6 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
1916, 18eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → 0 = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
20 voncmpl.s . . . . . . . . 9 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = dom (voln‘𝑋))
2221, 5eqtr2d 2645 . . . . . . 7 (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = 𝑆)
2322reseq2d 5317 . . . . . 6 (𝜑 → ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))) = ((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆))
2423fveq1d 6105 . . . . 5 (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸))
2510, 20syl6eleqr 2699 . . . . . 6 (𝜑𝐸𝑆)
26 fvres 6117 . . . . . 6 (𝐸𝑆 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
2725, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
2819, 24, 273eqtrrd 2649 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐸) = 0)
292, 3, 13, 28, 4omess0 39424 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐹) = 0)
302, 3, 14, 29, 6caragencmpl 39425 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
3130, 22eleqtrd 2690 1 (𝜑𝐹𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  0cc0 9815  OutMeascome 39379  CaraGenccaragen 39381  voln*covoln 39426  volncvoln 39428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-sumge0 39256  df-ome 39380  df-caragen 39382  df-ovoln 39427  df-voln 39429 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator