Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmappw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmappw 24642
 Description: Value of the von Mangoldt function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmappw ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃𝐾)) = (log‘𝑃))

Proof of Theorem vmappw
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 15226 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 nnnn0 11176 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 nnexpcl 12735 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2an 493 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
5 eqid 2610 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}
65vmaval 24639 . . 3 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑃𝐾)) = if((#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}), 0))
74, 6syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃𝐾)) = if((#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}), 0))
8 df-rab 2905 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾))}
9 prmdvdsexpb 15266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) ↔ 𝑝 = 𝑃))
109biimpd 218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
11103coml 1264 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
12113expa 1257 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
1312expimpd 627 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)) → 𝑝 = 𝑃))
14 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
15 prmz 15227 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
16 iddvdsexp 14843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝐾))
1715, 16sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝐾))
1814, 17jca 553 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃𝐾)))
19 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
20 breq1 4586 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) ↔ 𝑃 ∥ (𝑃𝐾)))
2119, 20anbi12d 743 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃𝐾))))
2218, 21syl5ibrcom 236 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾))))
2313, 22impbid 201 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)) ↔ 𝑝 = 𝑃))
24 velsn 4141 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ {𝑃} ↔ 𝑝 = 𝑃)
2523, 24syl6bbr 277 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑃}))
2625abbi1dv 2730 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾))} = {𝑃})
278, 26syl5eq 2656 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = {𝑃})
2827fveq2d 6107 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = (#‘{𝑃}))
29 hashsng 13020 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (#‘{𝑃}) = 1)
3029adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (#‘{𝑃}) = 1)
3128, 30eqtrd 2644 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = 1)
3231iftrued 4044 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → if((#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}), 0) = (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}))
3327unieqd 4382 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = {𝑃})
34 unisng 4388 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → {𝑃} = 𝑃)
3534adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑃} = 𝑃)
3633, 35eqtrd 2644 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = 𝑃)
3736fveq2d 6107 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = (log‘𝑃))
387, 32, 373eqtrd 2648 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃𝐾)) = (log‘𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  {crab 2900  ifcif 4036  {csn 4125  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ↑cexp 12722  #chash 12979   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223  logclog 24105  Λcvma 24618 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-vma 24624 This theorem is referenced by:  vmaprm  24643  vmacl  24644  efvmacl  24646  vmalelog  24730  vmasum  24741  chpval2  24743  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976
 Copyright terms: Public domain W3C validator