Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubmelfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubmelfzo 12400
 Description: If an integer in a 1 based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelfzo (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelfzo
StepHypRef Expression
1 simp3 1056 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
2 nnnn0 11176 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 nnnn0 11176 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3anim12i 588 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
543adant3 1074 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
6 nn0sub 11220 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0))
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0))
81, 7mpbid 221 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
9 simp2 1055 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10 nngt0 10926 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
11103ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → 0 < 𝐾)
12 nnre 10904 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
13 nnre 10904 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1412, 13anim12i 588 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
15143adant3 1074 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
16 ltsubpos 10399 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) < 𝑁))
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) < 𝑁))
1811, 17mpbid 221 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝑁𝐾) < 𝑁)
198, 9, 183jca 1235 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐾) < 𝑁))
20 elfz1b 12279 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁))
21 elfzo0 12376 . 2 ((𝑁𝐾) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐾) < 𝑁))
2219, 20, 213imtr4i 280 1 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0..^𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335 This theorem is referenced by:  cshwidxm  13405  crctcsh1wlkn0lem6  41018
 Copyright terms: Public domain W3C validator