Theorem elfzodifsumelfzo 12401

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 12300	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2		elfz2nn0 12300	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑃) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃))
3		elfzo0 12376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)))
4		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		znnsub 11300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
7	4, 5, 6	syl2an 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
8		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
9		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10		nn0addcl 11205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
11	8, 9, 10	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
13		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
14		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
16		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	13, 15, 17	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
20		nn0ge0 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
22	21	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))
23		lelttr 10007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
24	19, 22, 23	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
25	24	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
26		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
27	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
30		ltletr 10008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 0 < 𝑃))
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 0 < 𝑃))
32		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℤ)
33		elnnz 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
34	33	simplbi2 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
35	32, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
37	31, 36	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
38	37	exp4b 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ≤ 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))))
39	38	com24 93	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 𝑃 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℕ))))
40	39	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℕ)))
41	40	com13 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
43	25, 42	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
44	43	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
46	45	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
47		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
49	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
50		readdcl 9898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
51	48, 49, 50	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
53	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
56	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
57	52, 55, 56	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
59	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
60	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
61	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
62	59, 60, 61	ltaddsubd 10506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ↔ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)))
63	62	exbiri 650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
64	63	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
65	64	impd 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
67	66	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
69	68	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃))
70		ltletr 10008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
71	58, 69, 70	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
72	71	anasss 677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
73		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃) ↔ ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))
75	74	exp53 645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
76	7, 75	sylbird 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
77	76	3adant3 1074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
78	77	com14 94	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
79	78	3imp 1249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
80	3, 79	sylbi 206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
81	80	com13 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
82	81	3adant1 1072	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
83	2, 82	sylbi 206	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
84	83	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
85	1, 84	sylbi 206	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
86	85	imp 444	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  12402  swrdco  13434