Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structiedg0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structiedg0val 25699
 Description: The set of indexed edges of an extensible structure with a base set and another slot not being the slot for edge functions is empty. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
structvtxvallem.s 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
Assertion
Ref Expression
structiedg0val ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem structiedg0val
StepHypRef Expression
1 structvtxvallem.s . . . . . 6 𝑆 ∈ ℕ
2 structvtxvallem.b . . . . . 6 (Base‘ndx) < 𝑆
3 structvtxvallem.g . . . . . 6 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
41, 2, 3structvtxvallem 25697 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺))
543adant3 1074 . . . 4 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺))
6 fundif 5849 . . . . . . . 8 (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
76anim2i 591 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})))
873adant3 1074 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})))
98adantl 481 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺)) → (𝐺 ∈ V ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})))
10 basendxnn 15752 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) ∈ ℕ
1110nnrei 10906 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ∈ ℝ
1211, 2ltneii 10029 . . . . . 6 (Base‘ndx) ≠ 𝑆
1312a1i 11 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺)) → (Base‘ndx) ≠ 𝑆)
14 simpr3 1062 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺)) → {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺)
159, 13, 143jca 1235 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺)) → ((𝐺 ∈ V ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (Base‘ndx) ≠ 𝑆 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺))
165, 15mpdan 699 . . 3 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ((𝐺 ∈ V ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (Base‘ndx) ≠ 𝑆 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺))
17 fvex 6113 . . . 4 (Base‘ndx) ∈ V
181elexi 3186 . . . 4 𝑆 ∈ V
1917, 18funiedgdm2val 25689 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (Base‘ndx) ≠ 𝑆 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
2016, 19syl 17 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
21 prex 4836 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
233, 22syl5eqel 2692 . . . 4 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → 𝐺 ∈ V)
24 edgfndxid 25670 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
253, 23, 24mp2b 10 . . 3 (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
26 slotsbaseefdif 25672 . . . . . . . . 9 (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
2726nesymi 2839 . . . . . . . 8 ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
29 neneq 2788 . . . . . . . . 9 (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ 𝑆 = (.ef‘ndx))
30 eqcom 2617 . . . . . . . . 9 ((.ef‘ndx) = 𝑆𝑆 = (.ef‘ndx))
3129, 30sylnibr 318 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
32313ad2ant3 1077 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
33 ioran 510 . . . . . . 7 (¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆) ↔ (¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆))
3428, 32, 33sylanbrc 695 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
35 fvex 6113 . . . . . . 7 (.ef‘ndx) ∈ V
3635elpr 4146 . . . . . 6 ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆} ↔ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
3734, 36sylnibr 318 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆})
383dmeqi 5247 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
39 dmpropg 5526 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
40393adant3 1074 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
4138, 40syl5eq 2656 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx), 𝑆})
4237, 41neleqtrrd 2710 . . . 4 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
43 ndmfv 6128 . . . 4 (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
4442, 43syl 17 . . 3 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
4525, 44syl5eq 2656 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (.ef‘𝐺) = ∅)
4620, 45eqtrd 2644 1 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804   < clt 9953  ℕcn 10897  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  .efcedgf 25667  iEdgciedg 25674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-edgf 25668  df-iedg 25676 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator