Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structgrssvtxlem Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Lemma for structgrssvtx 25701 and structgrssiedg 25702. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
structgrssvtx.s (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
structgrssvtxlem (𝜑 → 2 ≤ (#‘dom 𝐺))

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 structgrssvtx.g . . 3 (𝜑𝐺𝑋)
2 dmexg 6989 . . 3 (𝐺𝑋 → dom 𝐺 ∈ V)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ V)
4 structgrssvtx.v . . . . 5 (𝜑𝑉𝑌)
5 structgrssvtx.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑍)
6 dmpropg 5526 . . . . 5 ((𝑉𝑌𝐸𝑍) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)})
74, 5, 6syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)})
8 structgrssvtx.s . . . . 5 (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
9 dmss 5245 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ dom 𝐺)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ dom 𝐺)
117, 10eqsstr3d 3603 . . 3 (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom 𝐺)
12 fvex 6113 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ V
13 fvex 6113 . . . . 5 (.ef‘ndx) ∈ V
1412, 13prss 4291 . . . 4 (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺) ↔ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom 𝐺)
15 slotsbaseefdif 25672 . . . . . 6 (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
16 neeq1 2844 . . . . . . 7 (𝑎 = (Base‘ndx) → (𝑎𝑏 ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑏))
17 neeq2 2845 . . . . . . 7 (𝑏 = (.ef‘ndx) → ((Base‘ndx) ≠ 𝑏 ↔ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)))
1816, 17rspc2ev 3295 . . . . . 6 (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏)
1915, 18mp3an3 1405 . . . . 5 (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏)
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏))
2114, 20syl5bir 232 . . 3 (𝜑 → ({(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom 𝐺 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏))
2211, 21mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏)
23 hashge2el2difr 13118 . 2 ((dom 𝐺 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏) → 2 ≤ (#‘dom 𝐺))
243, 22, 23syl2anc 691 1 (𝜑 → 2 ≤ (#‘dom 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804   ≤ cle 9954  2c2 10947  #chash 12979  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  .efcedgf 25667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-edgf 25668 This theorem is referenced by:  structgrssvtx  25701  structgrssiedg  25702
 Copyright terms: Public domain W3C validator