Theorem dmss 5245

Description: Subset theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)

Proof of Theorem dmss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3562	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
2	1	eximdv 1833	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 → ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
3		vex 3176	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	eldm2 5244	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
5	3	eldm2 5244	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)
6	2, 4, 5	3imtr4g 284	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ dom 𝐴 → 𝑥 ∈ dom 𝐵))
7	6	ssrdv 3574	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ⟨cop 4131  dom cdm 5038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-dm 5048

This theorem is referenced by:  dmeq  5246  dmv  5262  rnss  5275  dmiin  5290  ssxpb  5487  sofld  5500  relrelss  5576  funssxp  5974  fndmdif  6229  fneqeql2  6234  dff3  6280  frxp  7174  fnwelem  7179  funsssuppss  7208  tposss  7240  wfrlem16  7317  smores  7336  smores2  7338  tfrlem13  7373  imafi  8142  hartogslem1  8330  wemapso  8339  r0weon  8718  infxpenlem  8719  brdom3  9231  brdom5  9232  brdom4  9233  fpwwe2lem13  9343  fpwwe2  9344  canth4  9348  canthwelem  9351  pwfseqlem4  9363  nqerf  9631  dmrecnq  9669  uzrdgfni  12619  dmtrclfv  13607  rlimpm  14079  isstruct2  15704  strlemor1  15796  strleun  15799  imasaddfnlem  16011  imasvscafn  16020  isohom  16259  catcoppccl  16581  tsrss  17046  ledm  17047  dirdm  17057  f1omvdmvd  17686  mvdco  17688  f1omvdconj  17689  pmtrfb  17708  pmtrfconj  17709  symggen  17713  symggen2  17714  pmtrdifellem1  17719  pmtrdifellem2  17720  psgnunilem1  17736  gsum2d  18194  lspextmo  18877  dsmmfi  19901  lindfres  19981  mdetdiaglem  20223  tsmsxp  21768  ustssco  21828  setsmstopn  22093  metustexhalf  22171  tngtopn  22264  equivcau  22906  cmetss  22921  dvbssntr  23470  pserdv  23987  structgrssvtxlem  25700  uhgrares  25837  umgrares  25853  usgrares  25898  hlimcaui  27477  metideq  29264  esum2d  29482  fundmpss  30910  fixssdm  31183  filnetlem3  31545  filnetlem4  31546  ssbnd  32757  bnd2lem  32760  ismrcd1  36279  istopclsd  36281  mptrcllem  36939  cnvrcl0  36951  dmtrcl  36953  dfrcl2  36985  relexpss1d  37016  rp-imass  37085  rfovcnvf1od  37318  fourierdlem80  39079  issmflem  39613  subgreldmiedg  40507