MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structvtxvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structvtxvallem 25697
Description: Lemma for structvtxval 25698 and structiedg0val 25699. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
structvtxvallem.s 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
Assertion
Ref Expression
structvtxvallem ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺))

Proof of Theorem structvtxvallem
StepHypRef Expression
1 prex 4836 . . 3 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V
21a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
3 fvex 6113 . . . . . 6 (Base‘ndx) ∈ V
4 structvtxvallem.s . . . . . 6 𝑆 ∈ ℕ
53, 4pm3.2i 470 . . . . 5 ((Base‘ndx) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ)
65a1i 11 . . . 4 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((Base‘ndx) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
7 id 22 . . . 4 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝑉𝑋𝐸𝑌))
8 structvtxvallem.b . . . . . 6 (Base‘ndx) < 𝑆
9 basendxnn 15752 . . . . . . . . 9 (Base‘ndx) ∈ ℕ
109nnrei 10906 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) ∈ ℝ
114nnrei 10906 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ ℝ
1210, 11ltnei 10040 . . . . . . 7 ((Base‘ndx) < 𝑆𝑆 ≠ (Base‘ndx))
1312necomd 2837 . . . . . 6 ((Base‘ndx) < 𝑆 → (Base‘ndx) ≠ 𝑆)
148, 13ax-mp 5 . . . . 5 (Base‘ndx) ≠ 𝑆
1514a1i 11 . . . 4 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Base‘ndx) ≠ 𝑆)
166, 7, 153jca 1235 . . 3 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (((Base‘ndx) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ) ∧ (𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (Base‘ndx) ≠ 𝑆))
17 funprg 5854 . . 3 ((((Base‘ndx) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ) ∧ (𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (Base‘ndx) ≠ 𝑆) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩})
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩})
19 dmpropg 5526 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
207, 19syl 17 . . . 4 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
2120eqcomd 2616 . . 3 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → {(Base‘ndx), 𝑆} = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩})
22 eqimss 3620 . . 3 ({(Base‘ndx), 𝑆} = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩})
2321, 22syl 17 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩})
24 structvtxvallem.g . . 3 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
25 eleq1 2676 . . . 4 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → (𝐺 ∈ V ↔ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V))
26 funeq 5823 . . . 4 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}))
27 dmeq 5246 . . . . 5 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩})
2827sseq2d 3596 . . . 4 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → ({(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺 ↔ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}))
2925, 26, 283anbi123d 1391 . . 3 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → ((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺) ↔ ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V ∧ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩})))
3024, 29ax-mp 5 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺) ↔ ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V ∧ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}))
312, 18, 23, 30syl3anbrc 1239 1 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  wss 3540  {cpr 4127  cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  cfv 5804   < clt 9953  cn 10897  ndxcnx 15692  Basecbs 15695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-nn 10898  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700
This theorem is referenced by:  structvtxval  25698  structiedg0val  25699  struct2griedg  25705
  Copyright terms: Public domain W3C validator