Theorem saliuncl 39218

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliuncl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliuncl.kct	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliuncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem saliuncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saliuncl.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
2	1	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)
3		dfiun3g 5299	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸))
5		saliuncl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) = (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸)
7	6	rnmptss 6299	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ⊆ 𝑆)
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ⊆ 𝑆)
9	5, 8	ssexd 4733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ V)
10		elpwg 4116	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ V → (ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝒫 𝑆 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ⊆ 𝑆))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝒫 𝑆 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ⊆ 𝑆))
12	8, 11	mpbird 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝒫 𝑆)
13		saliuncl.kct	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
14		1stcrestlem 21065	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≼ ω → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ≼ ω)
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ≼ ω)
16	5, 12, 15	salunicl 39212	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝑆)
17	4, 16	eqeltrd 2688	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ωcom 6957   ≼ cdom 7839  SAlgcsalg 39204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-card 8648  df-acn 8651  df-salg 39205

This theorem is referenced by:  saliincl  39221  subsaliuncl  39252  meaiunlelem  39361  meaiuninclem  39373  meaiininclem  39376  caratheodory  39418  opnvonmbllem2  39523  ctvonmbl  39580  vonct  39584  smfaddlem2  39650  smflimlem1  39657  smfresal  39673  smfmullem4  39679