Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  saliincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saliincl 39221
Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
saliincl.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
saliincl.kct (𝜑𝐾 ≼ ω)
saliincl.kn0 (𝜑𝐾 ≠ ∅)
saliincl.e ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸𝑆)
Assertion
Ref Expression
saliincl (𝜑 𝑘𝐾 𝐸𝑆)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem saliincl
StepHypRef Expression
1 saliincl.e . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸𝑆)
2 elssuni 4403 . . . . . . . 8 (𝐸𝑆𝐸 𝑆)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 𝑆)
4 df-ss 3554 . . . . . . 7 (𝐸 𝑆 ↔ (𝐸 𝑆) = 𝐸)
53, 4sylib 207 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝐸 𝑆) = 𝐸)
65eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 = (𝐸 𝑆))
7 incom 3767 . . . . . 6 (𝐸 𝑆) = ( 𝑆𝐸)
87a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝐸 𝑆) = ( 𝑆𝐸))
9 dfin4 3826 . . . . . 6 ( 𝑆𝐸) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸))
109a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → ( 𝑆𝐸) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
116, 8, 103eqtrd 2648 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
1211iineq2dv 4479 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸 = 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
13 saliincl.kn0 . . . 4 (𝜑𝐾 ≠ ∅)
14 iindif2 4525 . . . 4 (𝐾 ≠ ∅ → 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)) = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)) = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
1612, 15eqtrd 2644 . 2 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸 = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
17 saliincl.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
18 saliincl.kct . . . 4 (𝜑𝐾 ≼ ω)
1917adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝑆 ∈ SAlg)
20 saldifcl 39215 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
2119, 1, 20syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐾) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
2217, 18, 21saliuncl 39218 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
23 saldifcl 39215 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆) → ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)) ∈ 𝑆)
2417, 22, 23syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)) ∈ 𝑆)
2516, 24eqeltrd 2688 1 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cdif 3537  cin 3539  wss 3540  c0 3874   cuni 4372   ciun 4455   ciin 4456   class class class wbr 4583  ωcom 6957  cdom 7839  SAlgcsalg 39204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-card 8648  df-acn 8651  df-salg 39205
This theorem is referenced by:  iocborel  39250  hoimbllem  39520  iccvonmbllem  39569  salpreimagtge  39611  salpreimaltle  39612  issmfltle  39622  smflimlem1  39657
  Copyright terms: Public domain W3C validator