Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsval 15961
 Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsdsval.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
prdsdsval (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsbasmpt.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
3 prdsbasmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
4 prdsbasmpt.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 fnex 6386 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
63, 4, 5syl2anc 691 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
7 prdsbasmpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
8 fndm 5904 . . . 4 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
93, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
10 prdsdsval.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
111, 2, 6, 7, 9, 10prdsds 15947 . 2 (𝜑𝐷 = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < )))
12 fveq1 6102 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
13 fveq1 6102 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
1412, 13oveqan12d 6568 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
1514adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
1615mpteq2dv 4673 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
1716rneqd 5274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) = ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
1817uneq1d 3728 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}))
1918supeq1d 8235 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
20 prdsplusgval.f . 2 (𝜑𝐹𝐵)
21 prdsplusgval.g . 2 (𝜑𝐺𝐵)
22 xrltso 11850 . . . 4 < Or ℝ*
2322supex 8252 . . 3 sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ V
2423a1i 11 . 2 (𝜑 → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ V)
2511, 19, 20, 21, 24ovmpt2d 6686 1 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  0cc0 9815  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  Basecbs 15695  distcds 15777  Xscprds 15929 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-prds 15931 This theorem is referenced by:  prdsdsval2  15967  xpsdsval  21996
 Copyright terms: Public domain W3C validator