Theorem prdsdsval2 15967

Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsdsval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝑅)
prdsdsval2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsdsval2	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
7	6	fnmpt 5933	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
9		prdsdsval2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		prdsdsval2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11		prdsdsval2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
12	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11	prdsdsval 15961	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
13		nfcv 2751	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
14		nfcv 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dist
15		nffvmpt1 6111	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)
16	14, 15	nffv 6110	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))
17		nfcv 2751	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑦)
18	13, 16, 17	nfov 6575	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))
19		nfcv 2751	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))
20		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))
21	20	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
22		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
23		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑥))
24	21, 22, 23	oveq123d 6570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
25	18, 19, 24	cbvmpt 4677	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
26		eqidd 2611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐼)
27	6	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
28	27	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = (dist‘𝑅))
29		prdsdsval2.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝑅)
30	28, 29	syl6eqr 2662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐸)
31	30	oveqd 6566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
32	31	ralimiaa 2935	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
33	5, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
34		mpteq12 4664	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
35	26, 33, 34	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
36	25, 35	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
37	36	rneqd 5274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
38	37	uneq1d 3728	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}) = (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}))
39	38	supeq1d 8235	. 2 ⊢ (𝜑 → sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
40	12, 39	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∪ cun 3538  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  0cc0 9815  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953  Basecbs 15695  distcds 15777  X_scprds 15929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-prds 15931

This theorem is referenced by:  prdsdsval3  15968  ressprdsds  21986