Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdscmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdscmnd 18087
 Description: The product of a family of commutative monoids is commutative. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdscmnd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscmnd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdscmnd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdscmnd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶CMnd)
Assertion
Ref Expression
prdscmnd (𝜑𝑌 ∈ CMnd)

Proof of Theorem prdscmnd
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2611 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
2 eqidd 2611 . 2 (𝜑 → (+g𝑌) = (+g𝑌))
3 prdscmnd.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
4 prdscmnd.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdscmnd.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
6 prdscmnd.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶CMnd)
7 cmnmnd 18031 . . . . 5 (𝑎 ∈ CMnd → 𝑎 ∈ Mnd)
87ssriv 3572 . . . 4 CMnd ⊆ Mnd
9 fss 5969 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶CMnd ∧ CMnd ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
106, 8, 9sylancl 693 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
113, 4, 5, 10prdsmndd 17146 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Mnd)
1263ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
1312ffvelrnda 6267 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑅𝑐) ∈ CMnd)
14 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
15 elex 3185 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
165, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
17163ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑆 ∈ V)
1817adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑆 ∈ V)
19 elex 3185 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑊𝐼 ∈ V)
204, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ V)
21203ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝐼 ∈ V)
2221adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝐼 ∈ V)
23 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (𝑅:𝐼⟶CMnd → 𝑅 Fn 𝐼)
246, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
25243ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅 Fn 𝐼)
2625adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
27 simpl2 1058 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
28 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑐𝐼)
293, 14, 18, 22, 26, 27, 28prdsbasprj 15955 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑎𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐)))
30 simpl3 1059 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
313, 14, 18, 22, 26, 30, 28prdsbasprj 15955 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑏𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐)))
32 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘(𝑅𝑐)) = (Base‘(𝑅𝑐))
33 eqid 2610 . . . . . 6 (+g‘(𝑅𝑐)) = (+g‘(𝑅𝑐))
3432, 33cmncom 18032 . . . . 5 (((𝑅𝑐) ∈ CMnd ∧ (𝑎𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐)) ∧ (𝑏𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐))) → ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐)) = ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐)))
3513, 29, 31, 34syl3anc 1318 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐)) = ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐)))
3635mpteq2dva 4672 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑐𝐼 ↦ ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐))) = (𝑐𝐼 ↦ ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐))))
37 simp2 1055 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
38 simp3 1056 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
39 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑌) = (+g𝑌)
403, 14, 17, 21, 25, 37, 38, 39prdsplusgval 15956 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) = (𝑐𝐼 ↦ ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐))))
413, 14, 17, 21, 25, 38, 37, 39prdsplusgval 15956 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑏(+g𝑌)𝑎) = (𝑐𝐼 ↦ ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐))))
4236, 40, 413eqtr4d 2654 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) = (𝑏(+g𝑌)𝑎))
431, 2, 11, 42iscmnd 18028 1 (𝜑𝑌 ∈ CMnd)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Xscprds 15929  Mndcmnd 17117  CMndccmn 18016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-cmn 18018 This theorem is referenced by:  prdsabld  18088  pwscmn  18089  prdsgsum  18200  prdscrngd  18436
 Copyright terms: Public domain W3C validator