Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdscmnd Structured version   Unicode version

Theorem prdscmnd 16845
 Description: The product of a family of commutative monoids is commutative. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdscmnd.y s
prdscmnd.i
prdscmnd.s
prdscmnd.r CMnd
Assertion
Ref Expression
prdscmnd CMnd

Proof of Theorem prdscmnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2444 . 2
2 eqidd 2444 . 2
3 prdscmnd.y . . 3 s
4 prdscmnd.i . . 3
5 prdscmnd.s . . 3
6 prdscmnd.r . . . 4 CMnd
7 cmnmnd 16791 . . . . 5 CMnd
87ssriv 3493 . . . 4 CMnd
9 fss 5729 . . . 4 CMnd CMnd
106, 8, 9sylancl 662 . . 3
113, 4, 5, 10prdsmndd 15931 . 2
1263ad2ant1 1018 . . . . . 6 CMnd
1312ffvelrnda 6016 . . . . 5 CMnd
14 eqid 2443 . . . . . 6
15 elex 3104 . . . . . . . . 9
165, 15syl 16 . . . . . . . 8
17163ad2ant1 1018 . . . . . . 7
1817adantr 465 . . . . . 6
19 elex 3104 . . . . . . . . 9
204, 19syl 16 . . . . . . . 8
21203ad2ant1 1018 . . . . . . 7
2221adantr 465 . . . . . 6
23 ffn 5721 . . . . . . . . 9 CMnd
246, 23syl 16 . . . . . . . 8
25243ad2ant1 1018 . . . . . . 7
2625adantr 465 . . . . . 6
27 simpl2 1001 . . . . . 6
28 simpr 461 . . . . . 6
293, 14, 18, 22, 26, 27, 28prdsbasprj 14850 . . . . 5
30 simpl3 1002 . . . . . 6
313, 14, 18, 22, 26, 30, 28prdsbasprj 14850 . . . . 5
32 eqid 2443 . . . . . 6
33 eqid 2443 . . . . . 6
3432, 33cmncom 16792 . . . . 5 CMnd
3513, 29, 31, 34syl3anc 1229 . . . 4
3635mpteq2dva 4523 . . 3
37 simp2 998 . . . 4
38 simp3 999 . . . 4
39 eqid 2443 . . . 4
403, 14, 17, 21, 25, 37, 38, 39prdsplusgval 14851 . . 3
413, 14, 17, 21, 25, 38, 37, 39prdsplusgval 14851 . . 3
4236, 40, 413eqtr4d 2494 . 2
431, 2, 11, 42iscmnd 16788 1 CMnd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095   wss 3461   cmpt 4495   wfn 5573  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cbs 14613   cplusg 14678  scprds 14824  cmnd 15897  CMndccmn 16776 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-fz 11683  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-hom 14702  df-cco 14703  df-0g 14820  df-prds 14826  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-cmn 16778 This theorem is referenced by:  prdsabld  16846  pwscmn  16847  prdsgsum  16985  prdsgsumOLD  16986  prdscrngd  17240
 Copyright terms: Public domain W3C validator