MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdscmnd Structured version   Unicode version

Theorem prdscmnd 16845
Description: The product of a family of commutative monoids is commutative. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdscmnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdscmnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdscmnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdscmnd.r  |-  ( ph  ->  R : I -->CMnd )
Assertion
Ref Expression
prdscmnd  |-  ( ph  ->  Y  e. CMnd )

Proof of Theorem prdscmnd
Dummy variables  c 
a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  Y ) )
2 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  Y ) )
3 prdscmnd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 prdscmnd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdscmnd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
6 prdscmnd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I -->CMnd )
7 cmnmnd 16791 . . . . 5  |-  ( a  e. CMnd  ->  a  e.  Mnd )
87ssriv 3493 . . . 4  |- CMnd  C_  Mnd
9 fss 5729 . . . 4  |-  ( ( R : I -->CMnd  /\ CMnd  C_  Mnd )  ->  R : I --> Mnd )
106, 8, 9sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
113, 4, 5, 10prdsmndd 15931 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
1263ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  R : I -->CMnd )
1312ffvelrnda 6016 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
)  /\  c  e.  I )  ->  ( R `  c )  e. CMnd )
14 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
15 elex 3104 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
165, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
17163ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  S  e.  _V )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
)  /\  c  e.  I )  ->  S  e.  _V )
19 elex 3104 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
204, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
21203ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  I  e.  _V )
2221adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
)  /\  c  e.  I )  ->  I  e.  _V )
23 ffn 5721 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I -->CMnd  ->  R  Fn  I )
246, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
25243ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  R  Fn  I
)
2625adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
)  /\  c  e.  I )  ->  R  Fn  I )
27 simpl2 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
)  /\  c  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  Y
) )
28 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
)  /\  c  e.  I )  ->  c  e.  I )
293, 14, 18, 22, 26, 27, 28prdsbasprj 14850 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
)  /\  c  e.  I )  ->  (
a `  c )  e.  ( Base `  ( R `  c )
) )
30 simpl3 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
)  /\  c  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
313, 14, 18, 22, 26, 30, 28prdsbasprj 14850 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
)  /\  c  e.  I )  ->  (
b `  c )  e.  ( Base `  ( R `  c )
) )
32 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R `  c
) )  =  (
Base `  ( R `  c ) )
33 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( R `  c
) )  =  ( +g  `  ( R `
 c ) )
3432, 33cmncom 16792 . . . . 5  |-  ( ( ( R `  c
)  e. CMnd  /\  (
a `  c )  e.  ( Base `  ( R `  c )
)  /\  ( b `  c )  e.  (
Base `  ( R `  c ) ) )  ->  ( ( a `
 c ) ( +g  `  ( R `
 c ) ) ( b `  c
) )  =  ( ( b `  c
) ( +g  `  ( R `  c )
) ( a `  c ) ) )
3513, 29, 31, 34syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
)  /\  c  e.  I )  ->  (
( a `  c
) ( +g  `  ( R `  c )
) ( b `  c ) )  =  ( ( b `  c ) ( +g  `  ( R `  c
) ) ( a `
 c ) ) )
3635mpteq2dva 4523 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  ( c  e.  I  |->  ( ( a `
 c ) ( +g  `  ( R `
 c ) ) ( b `  c
) ) )  =  ( c  e.  I  |->  ( ( b `  c ) ( +g  `  ( R `  c
) ) ( a `
 c ) ) ) )
37 simp2 998 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  a  e.  (
Base `  Y )
)
38 simp3 999 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  b  e.  (
Base `  Y )
)
39 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
403, 14, 17, 21, 25, 37, 38, 39prdsplusgval 14851 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  ( a ( +g  `  Y ) b )  =  ( c  e.  I  |->  ( ( a `  c
) ( +g  `  ( R `  c )
) ( b `  c ) ) ) )
413, 14, 17, 21, 25, 38, 37, 39prdsplusgval 14851 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  ( b ( +g  `  Y ) a )  =  ( c  e.  I  |->  ( ( b `  c
) ( +g  `  ( R `  c )
) ( a `  c ) ) ) )
4236, 40, 413eqtr4d 2494 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  ( a ( +g  `  Y ) b )  =  ( b ( +g  `  Y
) a ) )
431, 2, 11, 42iscmnd 16788 1  |-  ( ph  ->  Y  e. CMnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461    |-> cmpt 4495    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613   +g cplusg 14678   X_scprds 14824   Mndcmnd 15897  CMndccmn 16776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-fz 11683  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-hom 14702  df-cco 14703  df-0g 14820  df-prds 14826  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-cmn 16778
This theorem is referenced by:  prdsabld  16846  pwscmn  16847  prdsgsum  16985  prdsgsumOLD  16986  prdscrngd  17240
  Copyright terms: Public domain W3C validator