Theorem prdsgsum 18200

Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prdsgsum.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
prdsgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
prdsgsum.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
prdsgsum.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
prdsgsum.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
prdsgsum.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
prdsgsum.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
prdsgsum	⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐼   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prdsgsum

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsgsum.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3		prdsgsum.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
4		prdsgsum.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		prdsgsum.r	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
6		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
7	5, 6	fmptd 6292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
8		ffn 5958	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟶CMnd → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
10		prdsgsum.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
11	1, 4, 3, 7	prdscmnd 18087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)
12		prdsgsum.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
13		prdsgsum.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
14	13	anassrs 678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ 𝐵)
15	14	an32s 842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ 𝐵)
16	15	ralrimiva 2949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑈 ∈ 𝐵)
17	5	ralrimiva 2949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ CMnd)
18		prdsgsum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
19	1, 2, 3, 4, 17, 18	prdsbasmpt2 15965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑈 ∈ 𝐵))
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑈 ∈ 𝐵))
21	16, 20	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
22		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))
23	21, 22	fmptd 6292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
24		prdsgsum.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
25	2, 10, 11, 12, 23, 24	gsumcl 18139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
26	1, 2, 3, 4, 9, 25	prdsbasfn 15954	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼)
27		nfcv 2751	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
28		nfcv 2751	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 Σg
29		nfcv 2751	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐽
30		nfmpt1 4675	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
31	29, 30	nfmpt 4674	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))
32	27, 28, 31	nfov 6575	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))
33	32	dffn5f 6162	. . 3 ⊢ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
34	26, 33	sylib 207	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
35		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
37		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
38	37	fvmpt2 6200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
39	36, 14, 38	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
40	39	mpteq2dva 4672	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))
41	40	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
42	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ CMnd)
43		cmnmnd 18031	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
44	5, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
45	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
46	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
47	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑋)
48	44, 6	fmptd 6292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
49	48	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
50	1, 2, 46, 47, 49, 35	prdspjmhm 17190	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
51	6	fvmpt2 6200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ CMnd) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
52	35, 5, 51	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
53	52	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 MndHom ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = (𝑌 MndHom 𝑅))
54	50, 53	eleqtrd 2690	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
55	21	adantlr 747	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
56	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
57		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))
58		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
59	2, 10, 42, 44, 45, 54, 55, 56, 57, 58	gsummhm2 18162	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
60	41, 59	eqtr3d 2646	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
61	60	mpteq2dva 4672	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
62	34, 61	eqtr4d 2647	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  0_gc0g 15923   Σ_g cgsu 15924  X_scprds 15929  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156  CMndccmn 18016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-cntz 17573  df-cmn 18018

This theorem is referenced by:  pwsgsum  18201