Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1nzb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1nzb 23686
 Description: Univariate polynomials are nonzero iff the base is nonzero. Or in contraposition, the univariate polynomials over the zero ring are also zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1domn.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1nzb (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))

Proof of Theorem ply1nzb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1domn.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1nz 23685 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
3 simpl 472 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
4 eqid 2610 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (1r𝑃)
5 eqid 2610 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
64, 5nzrnz 19081 . . . . . 6 (𝑃 ∈ NzRing → (1r𝑃) ≠ (0g𝑃))
76adantl 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r𝑃) ≠ (0g𝑃))
8 ifeq1 4040 . . . . . . . . 9 ((1r𝑅) = (0g𝑅) → if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (0g𝑅), (0g𝑅)))
9 ifid 4075 . . . . . . . . 9 if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (0g𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅)
108, 9syl6eq 2660 . . . . . . . 8 ((1r𝑅) = (0g𝑅) → if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
1110ralrimivw 2950 . . . . . . 7 ((1r𝑅) = (0g𝑅) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
12 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
13 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
14 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
15 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1612, 1, 4ply1mpl1 19448 . . . . . . . . . 10 (1r𝑃) = (1r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
17 1on 7454 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ On
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 1𝑜 ∈ On)
1912, 13, 14, 15, 16, 18, 3mpl1 19265 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))))
2012, 1, 5ply1mpl0 19446 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑃) = (0g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
21 ringgrp 18375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
223, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Grp)
2312, 13, 14, 20, 18, 22mpl0 19262 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g𝑃) = ({𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}))
24 fconstmpt 5085 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅))
2523, 24syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅)))
2619, 25eqeq12d 2625 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r𝑃) = (0g𝑃) ↔ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅))))
27 fvex 6113 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) ∈ V
28 fvex 6113 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) ∈ V
2927, 28ifex 4106 . . . . . . . . . 10 if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ V
3029rgenw 2908 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ V
31 mpteqb 6207 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ V → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅)))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3326, 32syl6bb 275 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r𝑃) = (0g𝑃) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅)))
3411, 33syl5ibr 235 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (1r𝑃) = (0g𝑃)))
3534necon3d 2803 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r𝑃) ≠ (0g𝑃) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
367, 35mpd 15 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3715, 14isnzr 19080 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
383, 36, 37sylanbrc 695 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ NzRing)
3938ex 449 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ NzRing))
402, 39impbid2 215 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  1rcur 18324  Ringcrg 18370  NzRingcnzr 19078   mPoly cmpl 19174  Poly1cpl1 19368 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-nzr 19079  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-coe1 19374 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator