Theorem ply1mpl1 19448

Description: The univariate polynomial ring has the same one as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mpl1.m	⊢ 𝑀 = (1𝑜 mPoly 𝑅)
ply1mpl1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mpl1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1mpl1	⊢ 1 = (1r‘𝑀)

Proof of Theorem ply1mpl1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mpl1.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑃)
2		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
3		ply1mpl1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	ply1bas 19386	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
7		ply1mpl1.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (1𝑜 mPoly 𝑅)
8	7	fveq2i 6106	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
9	6, 8	eqtr4i 2635	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀))
11		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
12	3, 7, 11	ply1mulr 19418	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑀)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (.r‘𝑃) = (.r‘𝑀))
14	13	oveqdr 6573	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑀)𝑦))
15	2, 10, 14	rngidpropd 18518	. . 3 ⊢ (⊤ → (1r‘𝑃) = (1r‘𝑀))
16	15	trud 1484	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑀)
17	1, 16	eqtri 2632	1 ⊢ 1 = (1r‘𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769  1_rcur 18324   mPoly cmpl 19174  PwSer₁cps1 19366  Poly₁cpl1 19368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-ple 15788  df-0g 15925  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373

This theorem is referenced by:  ply1ascl  19449  ply1nzb  23686