MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1mpl1 Structured version   Unicode version

Theorem ply1mpl1 18493
Description: The univariate polynomial ring has the same one as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mpl1.m  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
ply1mpl1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1mpl1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  P )
Assertion
Ref Expression
ply1mpl1  |-  .1.  =  ( 1r `  M )

Proof of Theorem ply1mpl1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mpl1.o . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  P )
2 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( Base `  P
)  =  ( Base `  P ) )
3 ply1mpl1.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
5 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
63, 4, 5ply1bas 18429 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
7 ply1mpl1.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
87fveq2i 5851 . . . . . 6  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
96, 8eqtr4i 2486 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  M )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( Base `  P
)  =  ( Base `  M ) )
11 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
123, 7, 11ply1mulr 18463 . . . . . 6  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  M
)
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( .r `  P
)  =  ( .r
`  M ) )
1413oveqdr 6294 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( Base `  P
)  /\  y  e.  ( Base `  P )
) )  ->  (
x ( .r `  P ) y )  =  ( x ( .r `  M ) y ) )
152, 10, 14rngidpropd 17539 . . 3  |-  ( T. 
->  ( 1r `  P
)  =  ( 1r
`  M ) )
1615trud 1407 . 2  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  M
)
171, 16eqtri 2483 1  |-  .1.  =  ( 1r `  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1oc1o 7115   Basecbs 14716   .rcmulr 14785   1rcur 17348   mPoly cmpl 18197  PwSer1cps1 18409  Poly1cpl1 18411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-ple 14804  df-0g 14931  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-psr 18200  df-mpl 18202  df-opsr 18204  df-psr1 18414  df-ply1 18416
This theorem is referenced by:  ply1ascl  18494  ply1nzb  22689
  Copyright terms: Public domain W3C validator