Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcoptcl 22629
 Description: A constant function is a path from 𝑌 to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
Assertion
Ref Expression
pcoptcl ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))

Proof of Theorem pcoptcl
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . 3 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
2 iitopon 22490 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3 cnconst2 20897 . . . 4 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
42, 3mp3an1 1403 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
51, 4syl5eqel 2692 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
61fveq1i 6104 . . 3 (𝑃‘0) = (((0[,]1) × {𝑌})‘0)
7 simpr 476 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌𝑋)
8 0elunit 12161 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
9 fvconst2g 6372 . . . 4 ((𝑌𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
107, 8, 9sylancl 693 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
116, 10syl5eq 2656 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑃‘0) = 𝑌)
121fveq1i 6104 . . 3 (𝑃‘1) = (((0[,]1) × {𝑌})‘1)
13 1elunit 12162 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
14 fvconst2g 6372 . . . 4 ((𝑌𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
157, 13, 14sylancl 693 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
1612, 15syl5eq 2656 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑃‘1) = 𝑌)
175, 11, 163jca 1235 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  [,]cicc 12049  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838  IIcii 22486 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-ii 22488 This theorem is referenced by:  pcopt  22630  pcopt2  22631  pcorevlem  22634  pi1grplem  22657  sconpi1  30475  cvxscon  30479
 Copyright terms: Public domain W3C validator