MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoptcl Unicode version

Theorem pcoptcl 18999
Description: A constant function is a path from  Y to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
Assertion
Ref Expression
pcoptcl  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  ( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P `  0 )  =  Y  /\  ( P `  1 )  =  Y ) )

Proof of Theorem pcoptcl
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . 3  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
2 iitopon 18862 . . . 4  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
3 cnconst2 17301 . . . 4  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X
)  ->  ( (
0 [,] 1 )  X.  { Y }
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
42, 3mp3an1 1266 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { Y } )  e.  ( II  Cn  J ) )
51, 4syl5eqel 2488 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  P  e.  ( II  Cn  J
) )
61fveq1i 5688 . . 3  |-  ( P `
 0 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) `
 0 )
7 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  Y  e.  X )
8 0elunit 10971 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
9 fvconst2g 5904 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) `  0 )  =  Y )
107, 8, 9sylancl 644 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } ) `  0
)  =  Y )
116, 10syl5eq 2448 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  ( P `  0 )  =  Y )
121fveq1i 5688 . . 3  |-  ( P `
 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) `
 1 )
13 1elunit 10972 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
14 fvconst2g 5904 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) `  1 )  =  Y )
157, 13, 14sylancl 644 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } ) `  1
)  =  Y )
1612, 15syl5eq 2448 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  ( P `  1 )  =  Y )
175, 11, 163jca 1134 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  ( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P `  0 )  =  Y  /\  ( P `  1 )  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {csn 3774    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947   [,]cicc 10875  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242   IIcii 18858
This theorem is referenced by:  pcopt  19000  pcopt2  19001  pcorevlem  19004  pi1grplem  19027  sconpi1  24879  cvxscon  24883
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-ii 18860
  Copyright terms: Public domain W3C validator