MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoptcl Structured version   Unicode version

Theorem pcoptcl 20728
Description: A constant function is a path from  Y to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
Assertion
Ref Expression
pcoptcl  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  ( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P `  0 )  =  Y  /\  ( P `  1 )  =  Y ) )

Proof of Theorem pcoptcl
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . 3  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
2 iitopon 20590 . . . 4  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
3 cnconst2 19022 . . . 4  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X
)  ->  ( (
0 [,] 1 )  X.  { Y }
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
42, 3mp3an1 1302 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { Y } )  e.  ( II  Cn  J ) )
51, 4syl5eqel 2546 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  P  e.  ( II  Cn  J
) )
61fveq1i 5803 . . 3  |-  ( P `
 0 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) `
 0 )
7 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  Y  e.  X )
8 0elunit 11523 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
9 fvconst2g 6043 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) `  0 )  =  Y )
107, 8, 9sylancl 662 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } ) `  0
)  =  Y )
116, 10syl5eq 2507 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  ( P `  0 )  =  Y )
121fveq1i 5803 . . 3  |-  ( P `
 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) `
 1 )
13 1elunit 11524 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
14 fvconst2g 6043 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) `  1 )  =  Y )
157, 13, 14sylancl 662 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } ) `  1
)  =  Y )
1612, 15syl5eq 2507 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  ( P `  1 )  =  Y )
175, 11, 163jca 1168 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  ( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P `  0 )  =  Y  /\  ( P `  1 )  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {csn 3988    X. cxp 4949   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9396   1c1 9397   [,]cicc 11417  TopOnctopon 18634    Cn ccn 18963   IIcii 20586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-icc 11421  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-topgen 14504  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-ii 20588
This theorem is referenced by:  pcopt  20729  pcopt2  20730  pcorevlem  20733  pi1grplem  20756  sconpi1  27292  cvxscon  27296
  Copyright terms: Public domain W3C validator