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Theorem sconpi1 30475
 Description: A path-connected topological space is simply connected iff its fundamental group is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sconpi1.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
sconpi1 ((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽 ∈ SCon ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜))

Proof of Theorem sconpi1
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scontop 30464 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ SCon → 𝐽 ∈ Top)
21adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) → 𝐽 ∈ Top)
3 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) → 𝑌𝑋)
4 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝐽 π1 𝑌) = (𝐽 π1 𝑌)
5 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 π1 𝑌))
6 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
7 sconpi1.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = 𝐽
87toptopon 20548 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
96, 8sylib 207 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌𝑋)
114, 5, 9, 10elpi1 22653 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑋) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽))))
122, 3, 11syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽))))
13 phtpcer 22602 . . . . . . . . . . . . 13 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
15 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝐽 ∈ SCon)
16 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
17 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = 𝑌)
18 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘1) = 𝑌)
1917, 18eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
20 sconpht 30465 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ SCon ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1)) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
2115, 16, 19, 20syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
2217sneqd 4137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → {(𝑓‘0)} = {𝑌})
2322xpeq2d 5063 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
2421, 23breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {𝑌}))
2514, 24erthi 7680 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽))
262, 8sylib 207 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
27 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,]1) × {𝑌}) = ((0[,]1) × {𝑌})
284, 27pi1id 22659 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
2926, 3, 28syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
3029ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
3125, 30eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
32 velsn 4141 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ 𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
33 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽) → (𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ [𝑓]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
3432, 33syl5bb 271 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽) → (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ [𝑓]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
3531, 34syl5ibrcom 236 . . . . . . . . 9 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
3635expimpd 627 . . . . . . . 8 (((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
3736rexlimdva 3013 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
3812, 37sylbid 229 . . . . . 6 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
3938ssrdv 3574 . . . . 5 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ⊆ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
404pi1grp 22658 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
4126, 3, 40syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
42 eqid 2610 . . . . . . . 8 (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))
435, 42grpidcl 17273 . . . . . . 7 ((𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
4441, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
4544snssd 4281 . . . . 5 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) → {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ⊆ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
4639, 45eqssd 3585 . . . 4 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
47 fvex 6113 . . . . 5 (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ V
4847ensn1 7906 . . . 4 {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ≈ 1𝑜
4946, 48syl6eqbr 4622 . . 3 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SCon) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜)
5049adantll 746 . 2 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝐽 ∈ SCon) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜)
51 simpll 786 . . 3 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) → 𝐽 ∈ PCon)
52 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
53 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
54 simplll 794 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ PCon)
55 pcontop 30461 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ PCon → 𝐽 ∈ Top)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ Top)
5756, 8sylib 207 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
58 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
59 iiuni 22492 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) = II
6059, 7cnf 20860 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
62 0elunit 12161 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
63 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
6461, 62, 63sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
65 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘0))
66 simprr 792 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
6766eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘1) = (𝑓‘0))
6852, 53, 57, 64, 58, 65, 67elpi1i 22654 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
69 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝑓‘0)})
7069pcoptcl 22629 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
7157, 64, 70syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
7271simp1d 1066 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽))
7371simp2d 1067 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0))
7471simp3d 1068 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0))
7552, 53, 57, 64, 72, 73, 74elpi1i 22654 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
76 simpllr 795 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑌𝑋)
777, 52, 4, 53, 5pconpi1 30473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋𝑌𝑋) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
7854, 64, 76, 77syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
7953, 5gicen 17543 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
81 simplr 788 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜)
82 entr 7894 . . . . . . . . . 10 (((Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1𝑜)
8380, 81, 82syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1𝑜)
84 en1eqsn 8075 . . . . . . . . 9 (([((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ∧ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1𝑜) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)})
8575, 83, 84syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)})
8668, 85eleqtrd 2690 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)})
87 elsni 4142 . . . . . . 7 ([𝑓]( ≃ph𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)} → [𝑓]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽))
8886, 87syl 17 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽))
8913a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
9089, 58erth 7678 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ↔ [𝑓]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)))
9188, 90mpbird 246 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
9291expr 641 . . . 4 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
9392ralrimiva 2949 . . 3 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) → ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
94 isscon 30462 . . 3 (𝐽 ∈ SCon ↔ (𝐽 ∈ PCon ∧ ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))))
9551, 93, 94sylanbrc 695 . 2 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜) → 𝐽 ∈ SCon)
9650, 95impbida 873 1 ((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽 ∈ SCon ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1𝑜))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {csn 4125  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440   Er wer 7626  [cec 7627   ≈ cen 7838  0cc0 9815  1c1 9816  [,]cicc 12049  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245   ≃𝑔 cgic 17523  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838  IIcii 22486   ≃phcphtpc 22576   π1 cpi1 22611  PConcpcon 30455  SConcscon 30456 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-qus 15992  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-mulg 17364  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-gic 17525  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-ii 22488  df-htpy 22577  df-phtpy 22578  df-phtpc 22599  df-pco 22613  df-om1 22614  df-pi1 22616  df-pcon 30457  df-scon 30458 This theorem is referenced by: (None)
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