Theorem omecl 39393

Description: The outer measure of a set is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omecl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omecl.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omecl.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omecl	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem omecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omecl.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		omecl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3	1, 2	omef 39386	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
4		omecl.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
5	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ dom 𝑂)
6		dmexg 6989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → dom 𝑂 ∈ V)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ∈ V)
8		uniexg 6853	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑂 ∈ V → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
10	5, 9	eqeltrd 2688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
11	10, 4	ssexd 4733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
12		elpwg 4116	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
14	4, 13	mpbird 246	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
15	3, 14	ffvelrnd 6268	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  [,]cicc 12049  OutMeascome 39379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ome 39380

This theorem is referenced by:  caragen0  39396  omexrcl  39397  caragenunidm  39398  omessre  39400  caragenuncllem  39402  caragendifcl  39404  omeunle  39406  omeiunle  39407  omeiunltfirp  39409  carageniuncllem2  39412  carageniuncl  39413  caratheodorylem1  39416  caratheodorylem2  39417  omege0  39423